Номер 3.102, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.102. Найдите число корней уравнения $ \log_2(2 - x) = x^2 + 2x $.

Для того чтобы найти число корней уравнения $\log_2(2 - x) = x^2 + 2x$, мы можем проанализировать свойства функций в левой и правой частях. Уравнения такого типа, где смешаны логарифмические и полиномиальные функции, редко решаются аналитически. Вместо этого можно использовать графический или аналитический метод исследования функций.

Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x)$, равную разности правой и левой частей уравнения: $h(x) = x^2 + 2x - \log_2(2 - x)$. Число корней исходного уравнения равно числу нулей функции $h(x)$.

1. Область определения функции.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2 - x > 0 \implies x < 2$. Следовательно, область определения функции $h(x)$ — это интервал $(-\infty; 2)$.

2. Исследование монотонности и выпуклости.
Найдем первую и вторую производные функции $h(x)$.
Первая производная: $h'(x) = (x^2 + 2x - \log_2(2 - x))' = 2x + 2 - \frac{1}{(2-x)\ln 2} \cdot (-1) = 2x + 2 + \frac{1}{(2-x)\ln 2}$.
Вторая производная: $h''(x) = \left(2x + 2 + \frac{(2-x)^{-1}}{\ln 2}\right)' = 2 + \frac{-1 \cdot (2-x)^{-2} \cdot (-1)}{\ln 2} = 2 + \frac{1}{(2-x)^2 \ln 2}$.

3. Анализ знака второй производной.
На всей области определения $x < 2$, выражение $2-x > 0$, поэтому $(2-x)^2 > 0$. Константа $\ln 2$ также положительна. Следовательно, дробь $\frac{1}{(2-x)^2 \ln 2}$ всегда положительна. Тогда $h''(x) = 2 + (\text{положительное число}) > 0$ для всех $x \in (-\infty; 2)$.

4. Вывод о количестве корней.
Поскольку вторая производная $h''(x)$ строго положительна на всей области определения, функция $h(x)$ является строго выпуклой (вогнутой вниз). График строго выпуклой функции может пересекать любую горизонтальную прямую (в том числе и ось абсцисс $y=0$) не более чем в двух точках. Следовательно, уравнение $h(x)=0$ имеет не более двух корней.

Чтобы найти точное количество корней, вычислим значения функции $h(x)$ (или сравним значения исходных функций) в нескольких точках:
Пусть $f(x) = \log_2(2-x)$ и $g(x) = x^2+2x$.
- При $x = 1$: $f(1) = \log_2(2-1) = \log_2(1) = 0$. $g(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3$. Здесь $f(1) < g(1)$.
- При $x = 0$: $f(0) = \log_2(2-0) = \log_2(2) = 1$. $g(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Здесь $f(0) > g(0)$.
- При $x = -2$: $f(-2) = \log_2(2-(-2)) = \log_2(4) = 2$. $g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0$. Здесь $f(-2) > g(-2)$.
- При $x = -3$: $f(-3) = \log_2(2-(-3)) = \log_2(5)$. Так как $2^2=4$ и $2^3=8$, то $2 < \log_2(5) < 3$. $g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3$. Здесь $f(-3) < g(-3)$.

Функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на интервале $(-\infty; 2)$.
- На интервале $(-3, -2)$ происходит смена знака разности $f(x) - g(x)$ (с отрицательного на положительный). Следовательно, по теореме о промежуточном значении, на этом интервале есть как минимум один корень.
- На интервале $(0, 1)$ также происходит смена знака разности $f(x) - g(x)$ (с положительного на отрицательный). Следовательно, на этом интервале есть как минимум еще один корень.

Таким образом, мы установили, что уравнение имеет не менее двух корней. Сопоставив это с ранее доказанным фактом, что корней не может быть более двух, мы заключаем, что уравнение имеет ровно два корня.

Ответ: 2.