Номер 3.97, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.97. График функции $y = \log_b(x - a)$ имеет вид, как на рисунке 26, если:

а) $a > 0, 0 < b < 1$;

б) $a > 0, b > 1$;

в) $a < 0, 0 < b < 1$;

г) $a < 0, b > 1$;

д) $a = 0, 0 < b < 1$.

Выберите правильный ответ.

Рис. 26

Для того чтобы определить, какие из предложенных условий для параметров a и b соответствуют графику функции $y = \log_{b}(x - a)$, необходимо проанализировать сам график.

Анализ графика функции

1. Смещение графика и параметр a. Область определения логарифмической функции $y = \log_{b}(z)$ — это $z > 0$. Для функции $y = \log_{b}(x - a)$ аргумент $z = x - a$, следовательно, область определения задается неравенством $x - a > 0$, или $x > a$. Это означает, что прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой графика. На рисунке 26 видно, что вертикальная асимптота находится левее оси ординат (оси $y$), то есть в области отрицательных значений $x$. Ось $y$ соответствует прямой $x = 0$. Таким образом, мы можем заключить, что $a < 0$.

2. Монотонность функции и параметр b. Основание логарифма b определяет, является ли функция возрастающей или убывающей. Если $b > 1$, функция возрастает. Если $0 < b < 1$, функция убывает. График на рисунке 26 показывает возрастающую функцию (с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается). Следовательно, основание логарифма должно быть больше единицы: $b > 1$.

Итак, мы определили, что для данного графика должны выполняться два условия: $a < 0$ и $b > 1$.

Проверка предложенных вариантов

Теперь проверим, какой из вариантов удовлетворяет обоим этим условиям.

а) $a > 0, 0 < b < 1;$
Неверно. Условия противоречат найденным ($a < 0$ и $b > 1$).

б) $a > 0, b > 1;$
Неверно. Условие $a > 0$ противоречит найденному $a < 0$.

в) $a < 0, 0 < b < 1;$
Неверно. Условие $0 < b < 1$ противоречит найденному $b > 1$.

г) $a < 0, b > 1;$
Верно. Оба условия, $a < 0$ и $b > 1$, совпадают с нашими выводами.

д) $a = 0, 0 < b < 1.$
Неверно. Условия противоречат найденным ($a < 0$ и $b > 1$).

Ответ: г)