Номер 3.96, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.96. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \log_2 (x - 3);$

в) $y = \log_2 x + 2;$

г) $y = - \log_2 x.$

Для построения всех графиков в одной системе координат, мы сначала построим график базовой функции $y=\log_2 x$, а затем получим остальные графики с помощью геометрических преобразований.

а) $y = \log_2 x$
Это основная логарифмическая функция с основанием $a=2$, которое больше 1. График представляет собой возрастающую кривую.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: ось OY (прямая $x=0$).
Ключевые точки для построения:
при $x = 0.5$, $y = \log_2(0.5) = -1$; точка $(0.5, -1)$.
при $x = 1$, $y = \log_2(1) = 0$; точка $(1, 0)$ (пересечение с осью OX).
при $x = 2$, $y = \log_2(2) = 1$; точка $(2, 1)$.
при $x = 4$, $y = \log_2(4) = 2$; точка $(4, 2)$.
График строится по этим точкам как плавная кривая, уходящая в $-\infty$ при $x \to 0^+$.
Ответ: График функции $y = \log_2 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

б) $y = \log_2(x - 3)$
График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ параллельным переносом (сдвигом) на 3 единицы вправо вдоль оси OX.
Область определения: $x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$.
Вертикальная асимптота: прямая $x = 3$.
Ключевые точки (получены сдвигом точек графика $y = \log_2 x$):
$(1, 0) \rightarrow (1+3, 0) = (4, 0)$;
$(2, 1) \rightarrow (2+3, 1) = (5, 1)$;
$(4, 2) \rightarrow (4+3, 2) = (7, 2)$.
Ответ: График функции $y = \log_2(x-3)$ — это график $y = \log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$, пересечение с осью OX в точке $(4,0)$.

в) $y = \log_2 x + 2$
График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ параллельным переносом (сдвигом) на 2 единицы вверх вдоль оси OY.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$.
Ключевые точки (получены сдвигом точек графика $y = \log_2 x$):
$(1, 0) \rightarrow (1, 0+2) = (1, 2)$;
$(2, 1) \rightarrow (2, 1+2) = (2, 3)$;
$(4, 2) \rightarrow (4, 2+2) = (4, 4)$.
Точка пересечения с осью OX находится из условия $y=0$: $\log_2 x + 2 = 0 \Rightarrow \log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = 0.25$. Точка $(0.25, 0)$.
Ответ: График функции $y = \log_2 x + 2$ — это график $y = \log_2 x$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, пересечение с осью OX в точке $(0.25, 0)$.

г) $y = -\log_2 x$
График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ симметричным отражением относительно оси OX.
Область определения: $x > 0$.
Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$.
Поведение функции: в отличие от основной функции, эта функция является убывающей.
Ключевые точки (получены отражением точек графика $y = \log_2 x$):
$(1, 0) \rightarrow (1, 0)$;
$(2, 1) \rightarrow (2, -1)$;
$(4, 2) \rightarrow (4, -2)$;
$(0.5, -1) \rightarrow (0.5, 1)$.
Ответ: График функции $y = -\log_2 x$ — это график $y = \log_2 x$, отраженный симметрично относительно оси OX. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$ с вертикальной асимптотой $x=0$.