Номер 3.93, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.93. Используйте свойства логарифмической функции и сравните с нулем значение выражения:

a) $\log_{2} 1,3$;

б) $\log_{\sqrt{2}} 0,8$;

в) $\log_{0,9} 17$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 0,7.

а) Для сравнения выражения $\log_2 1.3$ с нулем, проанализируем основание и аргумент логарифма. Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Аргумент логарифма $b = 1.3$. Сравним аргумент с единицей: $1.3 > 1$. Поскольку функция возрастающая и аргумент больше единицы, то значение логарифма будет больше, чем $\log_2 1$. Имеем: $\log_2 1.3 > \log_2 1$. Так как $\log_2 1 = 0$, то $\log_2 1.3 > 0$.
Ответ: $\log_2 1.3 > 0$.

б) Рассмотрим выражение $\log_{\sqrt{2}} 0.8$. Основание логарифма $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a > 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{2}} x$ является возрастающей. Аргумент логарифма $b = 0.8$. Сравним аргумент с единицей: $0.8 < 1$. Поскольку функция возрастающая и аргумент меньше единицы, то значение логарифма будет меньше, чем $\log_{\sqrt{2}} 1$. Имеем: $\log_{\sqrt{2}} 0.8 < \log_{\sqrt{2}} 1$. Так как $\log_{\sqrt{2}} 1 = 0$, то $\log_{\sqrt{2}} 0.8 < 0$.
Ответ: $\log_{\sqrt{2}} 0.8 < 0$.

в) Рассмотрим выражение $\log_{0.9} 17$. Основание логарифма $a = 0.9$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0.9} x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Аргумент логарифма $b = 17$. Сравним аргумент с единицей: $17 > 1$. Поскольку функция убывающая и аргумент больше единицы, то значение логарифма будет меньше, чем $\log_{0.9} 1$. Имеем: $\log_{0.9} 17 < \log_{0.9} 1$. Так как $\log_{0.9} 1 = 0$, то $\log_{0.9} 17 < 0$.
Ответ: $\log_{0.9} 17 < 0$.

г) Рассмотрим выражение $\log_{\frac{1}{3}} 0.7$. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей. Аргумент логарифма $b = 0.7$. Сравним аргумент с единицей: $0.7 < 1$. Поскольку функция убывающая и аргумент меньше единицы, то значение логарифма будет больше, чем $\log_{\frac{1}{3}} 1$. Имеем: $\log_{\frac{1}{3}} 0.7 > \log_{\frac{1}{3}} 1$. Так как $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$, то $\log_{\frac{1}{3}} 0.7 > 0$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 0.7 > 0$.