Номер 3.104, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.104*. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 27:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = -\log_2 x;$

в) $y = \log_2 (-x);$

г) $y = -\log_2 (-x);$

д) $y = -2^x;$

Рис. 27

Для того чтобы выбрать правильную функцию, проанализируем свойства графика, изображенного на рисунке, и сопоставим их со свойствами предложенных функций.

Сначала определим ключевые характеристики графика:

Область определения: График функции полностью находится в левой полуплоскости, что означает, что функция определена только для отрицательных значений $x$, то есть $x < 0$.
Поведение функции: При увеличении аргумента $x$ (движение слева направо по оси $x$), значение функции $y$ уменьшается. Например, в точке $x = -8$ значение $y = 3$, а в точке $x = -2$ значение $y = 1$. Следовательно, функция является убывающей.
Контрольные точки: График проходит через точки с целочисленными координатами, которые легко определить по сетке: $(-1, 0)$, $(-2, 1)$, $(-4, 2)$, $(-8, 3)$.
Асимптота: Прямая $x = 0$ (ось $y$) является вертикальной асимптотой для графика.

Теперь поочередно рассмотрим каждую из предложенных функций.

а) $y = \log_2 x$

Область определения этой функции — $x > 0$. Это противоречит графику, который определен для $x < 0$.

Ответ: неверно.

б) $y = -\log_2 x$

Область определения этой функции также $x > 0$, что не соответствует графику.

Ответ: неверно.

в) $y = \log_2(-x)$

Область определения этой функции задается неравенством $-x > 0$, что равносильно $x < 0$. Это соответствует области определения на графике. Проверим, проходят ли контрольные точки через график этой функции:
При $x = -1$, $y = \log_2(-(-1)) = \log_2(1) = 0$. Точка $(-1, 0)$ подходит.
При $x = -2$, $y = \log_2(-(-2)) = \log_2(2) = 1$. Точка $(-2, 1)$ подходит.
При $x = -4$, $y = \log_2(-(-4)) = \log_2(4) = 2$. Точка $(-4, 2)$ подходит.
При $x = -8$, $y = \log_2(-(-8)) = \log_2(8) = 3$. Точка $(-8, 3)$ подходит.
Все ключевые точки совпадают. Также эта функция является убывающей, что соответствует графику. Таким образом, эта функция полностью описывает график на рисунке.

Ответ: верно.

г) $y = -\log_2(-x)$

Область определения $x < 0$ подходит. Проверим контрольные точки:
При $x = -2$, $y = -\log_2(-(-2)) = -\log_2(2) = -1$. На графике же в этой точке $y = 1$. Следовательно, функция не подходит.

Ответ: неверно.

д) $y = -2^x$

Это показательная функция. У нее нет вертикальной асимптоты $x=0$, а есть горизонтальная асимптота $y=0$. Это противоречит графику. Кроме того, при $x=-1$, $y = -2^{-1} = -1/2$, а на графике $y=0$.

Ответ: неверно.

Таким образом, единственная функция, график которой изображен на рисунке, это $y = \log_2(-x)$.