Номер 3.111, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.111. Постройте график функции:

а) $y = \log_{2}x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{3}}x.$

а) $y = \log_2 x$

Для построения графика функции $y = \log_2 x$ проанализируем ее свойства и найдем несколько ключевых точек.

1. Свойства функции:
- Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения $D(y) = (0; +\infty)$.
- Область значений: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Поведение функции: Основание логарифма $a=2$, и так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
- Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow \log_2 x = 0 \Rightarrow x=2^0=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.
- С осью $Oy$: пересечений нет, так как $x > 0$.

2. Ключевые точки:
Вычислим значения функции для нескольких удобных значений $x$ (степеней числа 2):
- при $x=0.25$, $y = \log_2(0.25) = \log_2(2^{-2}) = -2$; Точка $(0.25, -2)$.
- при $x=0.5$, $y = \log_2(0.5) = \log_2(2^{-1}) = -1$; Точка $(0.5, -1)$.
- при $x=1$, $y = \log_2(1) = 0$; Точка $(1, 0)$.
- при $x=2$, $y = \log_2(2) = 1$; Точка $(2, 1)$.
- при $x=4$, $y = \log_2(4) = 2$; Точка $(4, 2)$.
- при $x=8$, $y = \log_2(8) = 3$; Точка $(8, 3)$.

3. График функции:
Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, учитывая, что она приближается к оси $Oy$ и непрерывно возрастает.

Ответ: График функции $y=\log_2 x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ также проанализируем ее свойства и найдем ключевые точки.

1. Свойства функции:
- Область определения: $x > 0$, т.е. $D(y) = (0; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Поведение функции: Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, и так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
- Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.
- Точки пересечения с осями:
- С осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = 0 \Rightarrow x=(\frac{1}{3})^0=1$. Точка пересечения $(1, 0)$.
- С осью $Oy$: пересечений нет.

2. Ключевые точки:
Вычислим значения функции для нескольких удобных значений $x$ (степеней числа 3):
- при $x=1/9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/9) = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^2) = 2$; Точка $(1/9, 2)$.
- при $x=1/3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1/3) = 1$; Точка $(1/3, 1)$.
- при $x=1$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(1) = 0$; Точка $(1, 0)$.
- при $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(3) = \log_{\frac{1}{3}}(3^{-1}) = -1$; Точка $(3, -1)$.
- при $x=9$, $y = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{\frac{1}{3}}(3^{-2}) = -2$; Точка $(9, -2)$.

3. График функции:
Отметим полученные точки и соединим их плавной линией. График приближается к оси $Oy$ и уходит в $+\infty$ при $x \to 0^+$, и убывает при росте $x$.

Ответ: График функции $y=\log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(1,0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.