Номер 3.118, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.118. Постройте график функции $y = \log_2(x - 3) - 1$ и опишите ее свойства.

Построение графика

График функции $y = \log_2(x - 3) - 1$ строится на основе графика базовой функции $y = \log_2(x)$ путем последовательных геометрических преобразований.

1. Сначала построим график функции $y = \log_2(x)$. Это стандартная возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Затем выполним сдвиг графика $y = \log_2(x)$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Это преобразование соответствует замене $x$ на $(x-3)$ и дает нам график функции $y = \log_2(x - 3)$. Вертикальная асимптота смещается в $x=3$. Контрольные точки смещаются в $(4, 0)$, $(5, 1)$, $(7, 2)$.

3. Наконец, выполним сдвиг графика $y = \log_2(x - 3)$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Это преобразование соответствует вычитанию 1 из всей функции и дает нам искомый график $y = \log_2(x - 3) - 1$. Вертикальная асимптота $x=3$ не изменяется, а контрольные точки смещаются в $(4, -1)$, $(5, 0)$, $(7, 1)$.

Для более точного построения найдем несколько точек на итоговом графике:
- Если $x = 3.5$, $y = \log_2(3.5 - 3) - 1 = \log_2(0.5) - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(3.5, -2)$.
- Если $x = 4$, $y = \log_2(4 - 3) - 1 = \log_2(1) - 1 = 0 - 1 = -1$. Точка $(4, -1)$.
- Если $x = 5$, $y = \log_2(5 - 3) - 1 = \log_2(2) - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(5, 0)$.
- Если $x = 7$, $y = \log_2(7 - 3) - 1 = \log_2(4) - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(7, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_2(x-3)-1$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз. График представляет собой возрастающую кривую с вертикальной асимптотой $x=3$, проходящую через точки $(4, -1)$ и $(5, 0)$.

Свойства функции

1. Область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x - 3 > 0$, откуда $x > 3$.
$D(y) = (3; +\infty)$.

2. Область значений. Множество всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции. Найдем значение $x$, при котором $y=0$.
$\log_2(x - 3) - 1 = 0 \implies \log_2(x - 3) = 1 \implies x - 3 = 2^1 \implies x = 5$.
График пересекает ось OX в точке $(5, 0)$.

4. Пересечение с осью OY. Так как область определения функции $x > 3$, то $x$ не может быть равен 0. Следовательно, график не пересекает ось OY.

5. Промежутки знакопостоянства.
- $y > 0$ при $\log_2(x - 3) > 1 \implies x - 3 > 2 \implies x > 5$. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (5; +\infty)$.
- $y < 0$ при $\log_2(x - 3) < 1$. Учитывая область определения, получаем $0 < x - 3 < 2 \implies 3 < x < 5$. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (3; 5)$.

6. Монотонность. Основание логарифма $a=2 > 1$, поэтому функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на интервале $(3; +\infty)$.

7. Четность/нечетность. Область определения $D(y) = (3; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

8. Асимптоты. При $x \to 3^+$, значение $y \to -\infty$. Прямая $x = 3$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Ответ: Основные свойства функции $y = \log_2(x - 3) - 1$:
- Область определения: $D(y) = (3; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Функция общего вида (не четная и не нечетная).
- Нуль функции: $x=5$.
- Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (5; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (3; 5)$.
- Функция возрастает на всей области определения.
- Вертикальная асимптота: $x = 3$.