Номер 3.121, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.121. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \log_3 x$ на отрезке $[1; 81]$.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \log_3 x$ на заданном отрезке $[1; 81]$, необходимо сначала проанализировать свойства этой функции.

Функция $y = \log_a x$ является логарифмической. Характер ее монотонности определяется основанием $a$:

• если основание $a > 1$, функция монотонно возрастает на всей области определения;
• если $0 < a < 1$, функция монотонно убывает на всей области определения.

В данном случае основание логарифма $a=3$, что удовлетворяет условию $a > 1$. Следовательно, функция $y = \log_3 x$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$, а значит, и на отрезке $[1; 81]$.

Для монотонно возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, а наибольшее — в правой.

Нахождение наименьшего значения

Наименьшее значение функции будет в точке $x = 1$. Вычислим значение функции в этой точке:
$y_{наим} = y(1) = \log_3(1)$

Согласно свойству логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю.
$y_{наим} = 0$

Нахождение наибольшего значения

Наибольшее значение функции будет в точке $x = 81$. Вычислим значение функции в этой точке:
$y_{наиб} = y(81) = \log_3(81)$

Чтобы вычислить логарифм, представим число 81 как степень основания 3:
$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$

Теперь подставим это в выражение для логарифма:
$y_{наиб} = \log_3(3^4) = 4$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 81]$ равно 0, а наибольшее значение равно 4.