Номер 3.128, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.128. Представьте в виде корня выражение

$\frac{\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}}{\sqrt[9]{a^4}}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде одного корня, преобразуем его, используя свойства степеней и корней. Наиболее удобный способ — это перейти к степеням с рациональными показателями по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}}}}{\sqrt[9]{a^4}} $$

1. Упрощение числителя

Рассмотрим числитель $\sqrt[3]{a \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a}}}$. Преобразуем его, двигаясь от самого внутреннего корня к внешнему:

Сначала представим выражение под вторым корнем:

$$ a \sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}} $$

Теперь подставим это обратно. Выражение под первым (внешним) корнем примет вид:

$$ a \sqrt[3]{a^{\frac{4}{3}}} = a \cdot (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}} = a \cdot a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}} = a \cdot a^{\frac{4}{9}} = a^{1+\frac{4}{9}} = a^{\frac{13}{9}} $$

Наконец, применяем внешний кубический корень:

$$ \sqrt[3]{a^{\frac{13}{9}}} = (a^{\frac{13}{9}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{13}{9} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{13}{27}} $$

Таким образом, числитель равен $a^{\frac{13}{27}}$.

2. Упрощение знаменателя

Преобразуем знаменатель в степенную форму:

$$ \sqrt[9]{a^4} = a^{\frac{4}{9}} $$

3. Деление и конечное преобразование

Теперь разделим числитель на знаменатель. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$$ \frac{a^{\frac{13}{27}}}{a^{\frac{4}{9}}} = a^{\frac{13}{27} - \frac{4}{9}} $$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 27:

$$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{12}{27} $$

Выполним вычитание в показателе степени:

$$ \frac{13}{27} - \frac{12}{27} = \frac{1}{27} $$

Таким образом, мы получили $a^{\frac{1}{27}}$.

Теперь представим результат в виде корня:

$$ a^{\frac{1}{27}} = \sqrt[27]{a} $$

Ответ: $ \sqrt[27]{a} $