Номер 3.131, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.131. Найдите значение выражения:

а) $ \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right); $

б) $ \cos \pi + \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right); $

в) $ \sin \frac{3\pi}{2} + 2\cos\pi; $

г) $ 2\sin(-2\pi) + \cos(-\pi); $

д) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos \pi \cdot \cos 2\pi; $

е) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 8\sin(-\pi) - \cos 2\pi. $

а) $ \sin\frac{\pi}{2} \cdot \sin(-\frac{\pi}{2}) $

Для решения этого выражения воспользуемся известными значениями тригонометрических функций и свойством нечетности синуса.
Значение синуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно 1:
$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $
Функция синус является нечетной, что означает $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 $
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \sin\frac{\pi}{2} \cdot \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot (-1) = -1 $
Ответ: -1

б) $ \cos\pi + \sin(-\frac{3\pi}{2}) $

Найдем значения косинуса и синуса для данных углов.
Значение косинуса угла $\pi$ равно -1:
$ \cos\pi = -1 $
Используя свойство нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin(x) $) и зная, что $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $, получаем:
$ \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1 $
Сложим полученные значения:
$ \cos\pi + \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -1 + 1 = 0 $
Ответ: 0

в) $ \sin\frac{3\pi}{2} + 2\cos\pi $

Найдем табличные значения тригонометрических функций.
$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $
$ \cos\pi = -1 $
Подставим эти значения в выражение:
$ \sin\frac{3\pi}{2} + 2\cos\pi = -1 + 2 \cdot (-1) = -1 - 2 = -3 $
Ответ: -3

г) $ 2\sin(-2\pi) + \cos(-\pi) $

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций.
Синус — нечетная функция: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(-2\pi) = -\sin(2\pi) = -0 = 0 $
Косинус — четная функция: $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 $
Подставим значения в выражение:
$ 2\sin(-2\pi) + \cos(-\pi) = 2 \cdot 0 + (-1) = 0 - 1 = -1 $
Ответ: -1

д) $ \sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\pi \cdot \cos2\pi $

Найдем значения каждого множителя.
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 $
$ \cos\pi = -1 $
$ \cos2\pi = 1 $
Перемножим полученные значения:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) \cdot \cos\pi \cdot \cos2\pi = (-1) \cdot (-1) \cdot 1 = 1 $
Ответ: 1

е) $ \sin(-\frac{\pi}{2}) + 8\sin(-\pi) - \cos2\pi $

Найдем значение каждого слагаемого и вычитаемого.
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 $
$ \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0 $
$ \cos2\pi = 1 $
Подставим значения в выражение:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) + 8\sin(-\pi) - \cos2\pi = -1 + 8 \cdot 0 - 1 = -1 + 0 - 1 = -2 $
Ответ: -2