Номер 3.135, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.135. На рисунке 30 изображен график функции $y = f(x)$, областью определения которой является множество всех действительных чисел. Найдите число корней уравнения:

а) $f(x) = \sqrt{x}$;

б) $f(x) = -x + 1$;

в) $f(x) = -\frac{3}{x}$;

г) $f(x) = -x^2 - 2$;

д) $f(x) = \log_2 x$;

е) $f(x) = 0,5^x$;

ж) $f(x) = |x + 1| - 2$;

з) $f(x) = 4$.

Рис. 30

Для решения задачи необходимо найти количество точек пересечения графика функции $y = f(x)$, изображенного на рисунке, с графиком функции, заданной в каждом подпункте. Число таких точек равно числу корней соответствующего уравнения.

а) $f(x) = \sqrt{x}$

Найдём число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = \sqrt{x}$. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Построим график $y = \sqrt{x}$ на той же координатной плоскости. Он проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$. Сравним значения функций в некоторых точках:

• При $x=1$: $f(1) = 0$, а $\sqrt{1} = 1$. Таким образом, $f(1) < \sqrt{1}$.
• При $x=3$: $f(3) = 4$, а $\sqrt{3} \approx 1.73$. Таким образом, $f(3) > \sqrt{3}$. Поскольку обе функции непрерывны, на интервале $(1, 3)$ есть точка пересечения.
• При $x=4$: из графика $f(4) = 2$, и $\sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$ является второй точкой пересечения.

При $x > 4$ функция $f(x)$ убывает, а $y = \sqrt{x}$ возрастает, поэтому других точек пересечения нет. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

б) $f(x) = -x + 1$

Найдём число точек пересечения графика $y = f(x)$ и прямой $y = -x + 1$. Прямая проходит через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

• Проверим точку $(1, 0)$: $f(1) = 0$ и $-1 + 1 = 0$. Это точка пересечения.
• Проверим точку $(-3, 4)$: $f(-3) = 4$ (локальный максимум) и $-(-3) + 1 = 4$. Это вторая точка пересечения.
• Рассмотрим поведение графиков при $x > 1$. При $x=5$, $f(5)=0$, а $y=-5+1=-4$. $f(5)>y(5)$. Оценим значение при $x=6$: $f(6) \approx -6$, а $y=-6+1=-5$. $f(6)<y(6)$. В силу непрерывности функций, существует третья точка пересечения на интервале $(5, 6)$.

Следовательно, уравнение имеет три корня.

Ответ: 3.

в) $f(x) = -\frac{3}{x}$

Найдём число точек пересечения графика $y = f(x)$ и гиперболы $y = -3/x$.

• При $x > 0$: функция $y = -3/x$ всегда отрицательна. Функция $f(x)$ положительна на интервале $(1, 5)$, поэтому на этом интервале пересечений нет. На интервале $(0, 1)$ значения $f(x)$ лежат в диапазоне $(-2, 0)$, а значения $y = -3/x$ — в диапазоне $(-\infty, -3)$. Пересечений нет.
• При $x < 0$: функция $y = -3/x$ всегда положительна. Пересечения возможны только там, где $f(x) > 0$, то есть на интервале $(-5, -1)$. Сравним значения: $f(-5) = 0 < -3/(-5) = 0.6$. $f(-3) = 4 > -3/(-3) = 1$. $f(-1) = 0 < -3/(-1) = 3$. Так как $f(-5) < y(-5)$ и $f(-3) > y(-3)$, есть точка пересечения на $(-5, -3)$. Так как $f(-3) > y(-3)$ и $f(-1) < y(-1)$, есть точка пересечения на $(-3, -1)$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

г) $f(x) = -x^2 - 2$

Найдём число точек пересечения графика $y = f(x)$ и параболы $y = -x^2 - 2$. Вершина параболы $y = -x^2 - 2$ находится в точке $(0, -2)$, ветви направлены вниз. Из графика $y = f(x)$ видно, что точка $(0, -2)$ является точкой локального минимума. Таким образом, точка $(0, -2)$ является общей точкой двух графиков. При любом $x \neq 0$ в окрестности нуля $f(x) > -2$, в то время как $-x^2 - 2 < -2$. Это означает, что графики только касаются друг друга в точке $(0, -2)$ и не имеют других общих точек. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

д) $f(x) = \log_2 x$

Найдём число точек пересечения графиков $y = f(x)$ и $y = \log_2 x$. Область определения $y = \log_2 x$ есть $x > 0$.

• При $x=1$: $f(1)=0$ и $\log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ является точкой пересечения.
• При $x=4$: из графика $f(4)=2$ и $\log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$ является второй точкой пересечения.

На интервале $(1, 4)$ график $f(x)$ образует "горб", проходящий через точку $(3,4)$, и лежит выше графика $y = \log_2 x$. При $x>4$ функция $f(x)$ убывает, а $y = \log_2 x$ возрастает, поэтому новых пересечений не будет. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

е) $f(x) = 0,5^x$

Найдём число точек пересечения графиков $y = f(x)$ и $y = 0.5^x$. Функция $y = 0.5^x$ всегда положительна, поэтому пересечения возможны только на интервалах, где $f(x) > 0$: $(-5, -1)$ и $(1, 5)$.

• На интервале $(-5, -1)$: максимальное значение $f(x)$ равно 4 в точке $x=-3$. Значение $y = 0.5^x$ в этой точке равно $0.5^{-3} = 8$. Так как пик функции $f(x)$ лежит ниже соответствующей точки на графике $y = 0.5^x$, пересечений на этом интервале нет.
• На интервале $(1, 5)$: $f(1) = 0 < 0.5^1 = 0.5$. $f(3) = 4 > 0.5^3 = 0.125$. Есть точка пересечения на $(1, 3)$. $f(5) = 0 < 0.5^5 \approx 0.03$. Есть точка пересечения на $(3, 5)$.

Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

ж) $f(x) = |x + 1| - 2$

Найдём число точек пересечения графика $y = f(x)$ и графика $y = |x + 1| - 2$. График $y = |x + 1| - 2$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(-1, -2)$.

• При $x=1$: $f(1)=0$ и $|1+1|-2 = 0$. Точка $(1,0)$ — точка пересечения.
• При $x > -1$, имеем $y=x-1$. При $x=3$, $f(3)=4 > y(3)=2$. При $x=4$, $f(4)=2 < y(4)=3$. Значит, есть вторая точка пересечения на интервале $(3,4)$.
• При $x < -1$, имеем $y=-x-3$. При $x=-3$, $f(-3)=4 > y(-3)=0$. При $x=-5$, $f(-5)=0 < y(-5)=2$. Значит, есть третья точка пересечения на интервале $(-5,-3)$.

Следовательно, уравнение имеет три корня.

Ответ: 3.

з) $f(x) = 4$

Найдём число точек пересечения графика $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = 4$. Из графика видно, что прямая $y=4$ касается графика функции $f(x)$ в двух точках локальных максимумов: $(-3, 4)$ и $(3, 4)$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.