Номер 3.139, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.139. Решите однородное уравнение $5\sin^2 x - 6\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка вида $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$.

Исходное уравнение:

$5\sin^2 x - 6\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Сначала проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:

$5 \cdot 1 - 6\sin x \cdot 0 + 0 = 0$

$5 = 0$

Полученное равенство является ложным, следовательно, $\cos x \neq 0$. Поскольку $\cos x$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{5\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x}$

Используя тригонометрическое тождество $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, преобразуем уравнение:

$5\tan^2 x - 6\tan x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену переменной, пусть $t = \tan x$:

$5t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь выполним обратную замену и найдем значения $x$:

1) $\tan x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan x = \frac{1}{5}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.