Номер вопрос 1, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Существует ли значение x, при котором:

а) $log_2 x = 5;$

б) $log_2 x = -5;$

в) $log_2 (-x) = 5;$

г) $log_2 (-x) = -log_2(x)?$

а) Да, такое значение $x$ существует.
По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ равносильно $a^c = b$. Применяя это правило к уравнению $\log_2 x = 5$, получаем:
$x = 2^5$
$x = 32$
Аргумент логарифма ($x$) должен быть строго больше нуля. В нашем случае $32 > 0$, поэтому решение корректно.
Ответ: Да, существует, $x = 32$.

б) Да, такое значение $x$ существует.
Логарифм может быть равен отрицательному числу. Используя то же определение логарифма, что и в пункте а), для уравнения $\log_2 x = -5$ получаем:
$x = 2^{-5}$
$x = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$
Аргумент логарифма $x = \frac{1}{32}$ является положительным числом, что удовлетворяет области определения логарифма.
Ответ: Да, существует, $x = \frac{1}{32}$.

в) Да, такое значение $x$ существует.
В этом случае аргументом логарифма является выражение $-x$. Область определения логарифма требует, чтобы его аргумент был положителен:
$-x > 0$, что эквивалентно $x < 0$.
Решим уравнение $\log_2 (-x) = 5$ по определению логарифма:
$-x = 2^5$
$-x = 32$
$x = -32$
Полученное значение $x = -32$ удовлетворяет условию $x < 0$.
Ответ: Да, существует, $x = -32$.

г) Нет, такое значение $x$ не существует.
Рассмотрим области определения для левой и правой частей уравнения $\log_2 (-x) = -\log_2 (x)$.
1. Для левой части, $\log_2(-x)$, аргумент должен быть положителен: $-x > 0$, откуда следует $x < 0$.
2. Для правой части, $-\log_2(x)$, аргумент также должен быть положителен: $x > 0$.
Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо найти такое значение $x$, которое одновременно удовлетворяло бы обоим условиям: $x < 0$ и $x > 0$. Не существует ни одного действительного числа, которое было бы одновременно и положительным, и отрицательным. Следовательно, области определения левой и правой частей уравнения не пересекаются, и решений у уравнения нет.
Ответ: Нет, не существует.