Номер 3.148, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.148. Перейдите к равносильной системе и решите уравнение:

а) $lg(x^2 - 10x + 17) - lg(x + 3) = 0;$

б) $log_2(x^2 - 3x) - log_2(x - 1) = 0.$

а) $\lg(x^2 - 10x + 17) - \lg(x + 3) = 0$

Перенесем второй логарифм в правую часть уравнения, чтобы получить уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$:
$\lg(x^2 - 10x + 17) = \lg(x + 3)$

Такое уравнение равносильно системе, в которой выражения под логарифмами приравниваются, и дополнительно накладывается условие, что одно из этих выражений (а значит, и оба) больше нуля. Для упрощения выбираем более простое выражение для проверки.

Перейдем к равносильной системе:
$\begin{cases} x^2 - 10x + 17 = x + 3 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение системы:
$x^2 - 10x + 17 = x + 3$
$x^2 - 11x + 14 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 121 - 56 = 65$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$
$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{65}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$

Теперь решим неравенство из системы, чтобы проверить область допустимых значений:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни этому условию.
1) Для $x_1 = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$. Так как $8^2=64$ и $9^2=81$, то $8 < \sqrt{65} < 9$. Тогда $11 - 9 < 11 - \sqrt{65} < 11 - 8$, что дает $2 < 11 - \sqrt{65} < 3$. Следовательно, $1 < \frac{11 - \sqrt{65}}{2} < 1.5$. Поскольку $1 > -3$, корень $x_1$ удовлетворяет условию.
2) Для $x_2 = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$. Этот корень является суммой положительных чисел, поэтому он очевидно положителен и больше $-3$. Таким образом, корень $x_2$ также удовлетворяет условию.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $\frac{11 - \sqrt{65}}{2}; \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$.

б) $\log_2(x^2 - 3x) - \log_2(x - 1) = 0$

Перенесем второй логарифм в правую часть:
$\log_2(x^2 - 3x) = \log_2(x - 1)$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x = x - 1 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$

Решим уравнение из системы:
$x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$x^2 - 4x + 1 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

Найдем корни уравнения:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
Таким образом, $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь решим неравенство системы:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$

Проверим, удовлетворяют ли корни этому условию.
1) Для $x_1 = 2 - \sqrt{3}$. Значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Тогда $x_1 \approx 2 - 1.732 = 0.268$. Так как $0.268 < 1$, этот корень не удовлетворяет условию $x > 1$ и является посторонним.
2) Для $x_2 = 2 + \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $2 + \sqrt{3} > 2$, что очевидно больше 1. Этот корень удовлетворяет условию.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.