Номер 3.150, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.150. Используйте свойства логарифмов и решите уравнение:

a) $\log_{2}(x + 4) + \log_{2}(x - 3) = 3$;

б) $\log_{2}(x - 5) + \log_{2}(x - 2) = 2$;

в) $\log_{3}(x + 1) + \log_{3}(x + 7) = 3$;

г) $2 - \log_{2} x = \log_{2} (3x - 4)$;

д) $\log_{4}(x + 4) = 2 - \log_{4} (x - 2)$;

е) $3 - \log_{3}(2x - 1) = \log_{3}(18x - 27).$

а) $log_2(x + 4) + log_2(x - 3) = 3$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -4 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x > 3$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2((x + 4)(x - 3)) = 3$.

3. По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:
$(x + 4)(x - 3) = 2^3$
$x^2 - 3x + 4x - 12 = 8$
$x^2 + x - 20 = 0$.

4. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$.
$x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = -5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 \ngtr 3$.
$x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 3$.
Следовательно, решением уравнения является $x=4$.

Ответ: 4.

б) $\log_2(x - 5) + \log_2(x - 2) = 2$

1. ОДЗ: $\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 5$.
ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.

2. Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_2((x - 5)(x - 2)) = 2$.

3. Решим по определению логарифма:
$(x - 5)(x - 2) = 2^2$
$x^2 - 2x - 5x + 10 = 4$
$x^2 - 7x + 6 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 6$.
$x_1 = 1$.
$x_2 = 6$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):
$x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \ngtr 5$.
$x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 > 5$.

Ответ: 6.

в) $\log_3(x + 1) + \log_3(x + 7) = 3$

1. ОДЗ: $\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -7 \end{cases} \Rightarrow x > -1$.
ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

2. Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_3((x + 1)(x + 7)) = 3$.

3. Решим по определению логарифма:
$(x + 1)(x + 7) = 3^3$
$x^2 + 7x + x + 7 = 27$
$x^2 + 8x - 20 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение. $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$.
$x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
$x_1 = -10$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-10 \ngtr -1$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > -1$.

Ответ: 2.

г) $2 - \log_2 x = \log_2(3x - 4)$

1. ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 4/3 \end{cases} \Rightarrow x > 4/3$.
ОДЗ: $x \in (4/3; +\infty)$.

2. Перенесем логарифмы в одну часть и представим число 2 в виде логарифма с основанием 2:
$2 = \log_2(3x - 4) + \log_2 x$
$\log_2(2^2) = \log_2(x(3x - 4))$
$\log_2 4 = \log_2(3x^2 - 4x)$.

3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4 = 3x^2 - 4x$
$3x^2 - 4x - 4 = 0$.

4. Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 4/3$):
$x_1 = -2/3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2/3 \ngtr 4/3$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 4/3$.

Ответ: 2.

д) $\log_4(x + 4) = 2 - \log_4(x - 2)$

1. ОДЗ: $\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2$.
ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Перенесем логарифмы в одну часть уравнения:
$\log_4(x + 4) + \log_4(x - 2) = 2$.

3. Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_4((x + 4)(x - 2)) = 2$.

4. Решим по определению логарифма:
$(x + 4)(x - 2) = 4^2$
$x^2 - 2x + 4x - 8 = 16$
$x^2 + 2x - 24 = 0$.

5. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$.
$x_1 = -6$.
$x_2 = 4$.

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2$):
$x_1 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 \ngtr 2$.
$x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > 2$.

Ответ: 4.

е) $3 - \log_3(2x - 1) = \log_3(18x - 27)$

1. ОДЗ: $\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 18x - 27 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 1 \\ 18x > 27 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/2 \\ x > 27/18 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0.5 \\ x > 1.5 \end{cases} \Rightarrow x > 1.5$.
ОДЗ: $x \in (1.5; +\infty)$.

2. Перенесем логарифмы в одну часть и представим число 3 в виде логарифма с основанием 3:
$3 = \log_3(18x - 27) + \log_3(2x - 1)$
$\log_3(3^3) = \log_3((18x - 27)(2x - 1))$
$\log_3 27 = \log_3((18x - 27)(2x - 1))$.

3. Приравниваем аргументы логарифмов:
$27 = (18x - 27)(2x - 1)$
$27 = 36x^2 - 18x - 54x + 27$
$27 = 36x^2 - 72x + 27$
$0 = 36x^2 - 72x$.

4. Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$36x(x - 2) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1.5$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 1.5$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 > 1.5$.

Ответ: 2.