Номер 3.157, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.157. Примените формулу перехода от одного основания логарифма к другому и решите уравнение:

a) $log_2 x - 12log_x 2 = 1$;

б) $log_4 x + 6log_x 4 = 5$;

в) $4log_{16} x + lg10 = 3log_x 16.$

Исходное уравнение: $\log_2 x - 12\log_x 2 = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов определяется условиями: аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно единице.
Для $\log_2 x$: $x > 0$.
Для $\log_x 2$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Общее ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Применим формулу перехода к другому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Тогда $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\log_2 x - \frac{12}{\log_2 x} = 1$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$t - \frac{12}{t} = 1$.
Умножим обе части уравнения на $t$ (при $t \neq 0$, что соответствует условию $x \neq 1$):
$t^2 - 12 = t$
$t^2 - t - 12 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -12.
$t_1 = 4$, $t_2 = -3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log_2 x = 4 \implies x = 2^4 = 16$.
2) $\log_2 x = -3 \implies x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 16, x_2 = \frac{1}{8}$.

Исходное уравнение: $\log_4 x + 6\log_x 4 = 5$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$.
Подставим в уравнение:
$\log_4 x + \frac{6}{\log_4 x} = 5$.
Сделаем замену. Пусть $t = \log_4 x$.
$t + \frac{6}{t} = 5$.
Умножим обе части на $t \neq 0$:
$t^2 + 6 = 5t$
$t^2 - 5t + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6.
$t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Произведем обратную замену:
1) $\log_4 x = 2 \implies x = 4^2 = 16$.
2) $\log_4 x = 3 \implies x = 4^3 = 64$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 16, x_2 = 64$.

Исходное уравнение: $4\log_{16} x + \lg 10 = 3\log_x 16$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Упростим уравнение, учитывая, что $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$:
$4\log_{16} x + 1 = 3\log_x 16$.
Применим формулу $\log_x 16 = \frac{1}{\log_{16} x}$:
$4\log_{16} x + 1 = \frac{3}{\log_{16} x}$.
Пусть $t = \log_{16} x$. Уравнение примет вид:
$4t + 1 = \frac{3}{t}$.
Умножим обе части на $t \neq 0$:
$4t^2 + t = 3$
$4t^2 + t - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
Корни:
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = -1$.
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_{16} x = -1 \implies x = 16^{-1} = \frac{1}{16}$.
2) $\log_{16} x = \frac{3}{4} \implies x = 16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{16}, x_2 = 8$.