Номер 3.163, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.163. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \log_4 x + \log_4 y = 1, \\ y - 2x = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 3, \\ x - y = -6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 90, \\ \lg x + \lg y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2x + 3y = 16, \\ \log_2 x + \log_2 y = 3. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} \log_4 x + \log_4 y = 1, \\ y - 2x = 7; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_4(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 4^1$

$xy = 4$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} xy = 4, \\ y - 2x = 7. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x + 7$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(2x + 7) = 4$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

$x_1 = -4$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

$x_2 = 1/2$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x = 1/2$:

$y = 2 \cdot (\frac{1}{2}) + 7 = 1 + 7 = 8$

Значение $y=8$ удовлетворяет ОДЗ ($y > 0$).

Решение системы: $(1/2, 8)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 8)$.

б) $ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 3, \\ x - y = -6; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\log_3(xy) = 3$

$xy = 3^3$

$xy = 27$

Получим систему:

$ \begin{cases} xy = 27, \\ x - y = -6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y - 6$

Подставим в первое уравнение:

$(y - 6)y = 27$

$y^2 - 6y - 27 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 6$

$y_1 \cdot y_2 = -27$

Корни: $y_1 = 9$, $y_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y > 0$).

$y_2 = -3$ не удовлетворяет условию.

$y_1 = 9$ удовлетворяет условию.

Найдем соответствующее значение $x$ для $y=9$:

$x = 9 - 6 = 3$

Значение $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Решение системы: $(3, 9)$.

Ответ: $(3, 9)$.

в) $ \begin{cases} x - y = 90, \\ \lg x + \lg y = 3; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)

Преобразуем второе уравнение:

$\lg(xy) = 3$

$xy = 10^3$

$xy = 1000$

Получим систему:

$ \begin{cases} x - y = 90, \\ xy = 1000. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 90$

Подставим во второе уравнение:

$(y + 90)y = 1000$

$y^2 + 90y - 1000 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 90^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 8100 + 4000 = 12100 = 110^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-90 - 110}{2} = \frac{-200}{2} = -100$

$y_2 = \frac{-90 + 110}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y > 0$).

$y_1 = -100$ не удовлетворяет условию.

$y_2 = 10$ удовлетворяет условию.

Найдем соответствующее значение $x$ для $y=10$:

$x = 10 + 90 = 100$

Значение $x=100$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Решение системы: $(100, 10)$.

Ответ: $(100, 10)$.

г) $ \begin{cases} 2x + 3y = 16, \\ \log_2 x + \log_2 y = 3. \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение:

$\log_2(xy) = 3$

$xy = 2^3$

$xy = 8$

Получим систему:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 16, \\ xy = 8. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ (так как $y > 0$, то $y \neq 0$):

$x = \frac{8}{y}$

Подставим в первое уравнение:

$2 \cdot (\frac{8}{y}) + 3y = 16$

$\frac{16}{y} + 3y = 16$

Умножим обе части уравнения на $y$:

$16 + 3y^2 = 16y$

$3y^2 - 16y + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{16 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{16 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 8}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y > 0$). Найдем соответствующие значения $x$.

1. Если $y_1 = 4/3$:

$x_1 = \frac{8}{4/3} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$. Значение $x_1=6$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

2. Если $y_2 = 4$:

$x_2 = \frac{8}{4} = 2$. Значение $x_2=2$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Система имеет два решения: $(6, 4/3)$ и $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4), (6, \frac{4}{3})$.