Номер 3.167, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.167*. Решите уравнение, используя определение логарифма:

а) $x^{2-\frac{\log_3 x}{2}} = 9;$

б) $x^{2\lg^3 x - \frac{3\lg x}{2}} = \sqrt{10};$

в) $25 \cdot x^{2\log_5 x} = x^4.$

а) Исходное уравнение: $x^{2 - \frac{\log_3 x}{2}} = 9$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени содержится логарифм по основанию 3.
$\log_3(x^{2 - \frac{\log_3 x}{2}}) = \log_3(9)$
Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:
$(2 - \frac{\log_3 x}{2}) \cdot \log_3 x = \log_3(3^2)$
$(2 - \frac{\log_3 x}{2}) \cdot \log_3 x = 2$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$(2 - \frac{t}{2}) \cdot t = 2$
$2t - \frac{t^2}{2} = 2$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$4t - t^2 = 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 4 = 0$
Это полный квадрат разности:
$(t - 2)^2 = 0$
Отсюда $t = 2$.
Вернемся к исходной переменной, подставив $t=2$ в замену:
$\log_3 x = 2$
По определению логарифма, $x = 3^2$.
$x = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 0$).
Проверка: $9^{2 - \frac{\log_3 9}{2}} = 9^{2 - \frac{2}{2}} = 9^{2-1} = 9^1 = 9$. Равенство верно.
Ответ: $x=9$.

б) Исходное уравнение: $x^{2\lg^3 x - \frac{3}{2}\lg x} = \sqrt{10}$.
ОДЗ: $x > 0$. (lg x - это десятичный логарифм $\log_{10} x$)
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{2\lg^3 x - \frac{3}{2}\lg x}) = \lg(\sqrt{10})$
Используя свойство логарифма степени, получаем:
$(2\lg^3 x - \frac{3}{2}\lg x) \cdot \lg x = \lg(10^{1/2})$
$(2(\lg x)^3 - \frac{3}{2}\lg x) \cdot \lg x = \frac{1}{2}$
Сделаем замену $t = \lg x$:
$(2t^3 - \frac{3}{2}t) \cdot t = \frac{1}{2}$
$2t^4 - \frac{3}{2}t^2 - \frac{1}{2} = 0$
Умножим на 2:
$4t^4 - 3t^2 - 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену $y = t^2$, при этом $y \ge 0$.
$4y^2 - 3y - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$y_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
$y_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Корень $y_2 = -1/4$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается $y=1$. Вернемся к переменной $t$:
$t^2 = 1$, откуда $t_1 = 1$ и $t_2 = -1$.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1) $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $\lg x = -1 \implies x = 10^{-1} = 0.1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $x=10, x=0.1$.

в) Исходное уравнение: $25 \cdot x^{2\log_5 x} = x^4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:
$\log_5(25 \cdot x^{2\log_5 x}) = \log_5(x^4)$
Используя свойства логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a b$:
$\log_5(25) + \log_5(x^{2\log_5 x}) = 4\log_5 x$
$\log_5(5^2) + (2\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = 4\log_5 x$
$2 + 2(\log_5 x)^2 = 4\log_5 x$
Сделаем замену $t = \log_5 x$:
$2 + 2t^2 = 4t$
$2t^2 - 4t + 2 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$
Вернемся к переменной $x$:
$\log_5 x = 1$
$x = 5^1 = 5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Проверка: $25 \cdot 5^{2\log_5 5} = 25 \cdot 5^{2 \cdot 1} = 25 \cdot 25 = 625$. Правая часть: $5^4 = 625$. Равенство верно.
Ответ: $x=5$.