Номер 3.171, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.171* Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $log_3 (4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1$.

Для решения уравнения $\log_{3}(4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$4 \cdot 3^{x-1} - 1 > 0$

Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем выражение:

$4 \cdot \frac{3^x}{3^1} - 1 > 0$

$\frac{4}{3} \cdot 3^x > 1$

$3^x > \frac{3}{4}$

Прологарифмировав обе части по основанию 3, получаем:

$x > \log_3(\frac{3}{4})$ или $x > 1 - \log_3(4)$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Согласно определению логарифма ($\log_b a = c \iff a = b^c$):

$4 \cdot 3^{x-1} - 1 = 3^{2x-1}$

Преобразуем степени в правой и левой частях:

$4 \cdot \frac{3^x}{3} - 1 = \frac{3^{2x}}{3}$

Для удобства решения введем замену. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. С учетом ОДЗ ($3^x > \frac{3}{4}$), имеем более строгое условие на $t$: $t > \frac{3}{4}$.

Подставим $t$ в уравнение:

$\frac{4}{3}t - 1 = \frac{t^2}{3}$

Домножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$4t - 3 = t^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями являются:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$

Проверим, удовлетворяют ли эти значения условию $t > \frac{3}{4}$:

$t_1 = 1 > \frac{3}{4}$ (удовлетворяет)

$t_2 = 3 > \frac{3}{4}$ (удовлетворяет)

Оба корня для $t$ подходят. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x_1 = 0$.

2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x_2 = 1$.

Мы получили два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $0 > 1 - \log_3(4)$ (потому что $\log_3(4) > 1$) и $1 > 1 - \log_3(4)$ (потому что $\log_3(4) > 0$).

По условию задачи, необходимо найти сумму корней.

Сумма корней = $x_1 + x_2 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1