Номер 3.172, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.172*. Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения $7^{\log_7^2 x} + x^{\log_7 x} = 14.$

Данное уравнение: $7^{\log_7^2 x} + x^{\log_7 x} = 14$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует логарифм $\log_7 x$, его аргумент должен быть строго положительным: $x > 0$.

Рассмотрим второе слагаемое в левой части уравнения: $x^{\log_7 x}$. Воспользуемся свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. В нашем случае $a = x$, $b = 7$ и $c=x$. Более наглядно будет представить $x$ через основание 7, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$:
$x = 7^{\log_7 x}$.

Теперь подставим это выражение в $x^{\log_7 x}$:
$x^{\log_7 x} = (7^{\log_7 x})^{\log_7 x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(7^{\log_7 x})^{\log_7 x} = 7^{(\log_7 x) \cdot (\log_7 x)} = 7^{(\log_7 x)^2} = 7^{\log_7^2 x}$.

Таким образом, мы показали, что оба слагаемых в левой части исходного уравнения равны. Заменим второе слагаемое на полученное выражение, и уравнение примет вид:
$7^{\log_7^2 x} + 7^{\log_7^2 x} = 14$
$2 \cdot 7^{\log_7^2 x} = 14$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$7^{\log_7^2 x} = 7$.

Так как $7 = 7^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$\log_7^2 x = 1$.

Это уравнение распадается на два более простых уравнения:
1) $\log_7 x = 1 \implies x_1 = 7^1 = 7$.
2) $\log_7 x = -1 \implies x_2 = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Оба корня, $x_1 = 7$ и $x_2 = \frac{1}{7}$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 7 \cdot \frac{1}{7} = 1$.

Ответ: 1