Номер 3.170, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.170*. Найдите сумму корней уравнения $1 - \log_9 (x + 1)^2 = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} \frac{x + 5}{x + 3}$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Исходное уравнение: $1 - \log_9(x+1)^2 = \frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\frac{x+5}{x+3}$.

Для того чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:
1) $(x+1)^2 > 0 \implies x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
2) $\frac{x+5}{x+3} > 0$.

Решим второе неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=-3$. Они разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty, -5)$, $(-5, -3)$ и $(-3, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -5)$, дробь положительна (например, при $x=-6$, $\frac{-1}{-3} > 0$).
- При $x \in (-5, -3)$, дробь отрицательна (например, при $x=-4$, $\frac{1}{-1} < 0$).
- При $x \in (-3, +\infty)$, дробь положительна (например, при $x=0$, $\frac{5}{3} > 0$).
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, +\infty)$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ для исходного уравнения: $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Преобразование и упрощение уравнения

Приведем логарифмы в уравнении к одному основанию, а именно к основанию 3.
Для левой части:
$\log_9(x+1)^2 = \log_{3^2}(x+1)^2 = \frac{2}{2} \log_3|x+1| = \log_3|x+1|$.
Для правой части:
$\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\frac{x+5}{x+3} = \frac{1}{2}\log_{3^{1/2}}\frac{x+5}{x+3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2} \log_3\frac{x+5}{x+3} = \log_3\frac{x+5}{x+3}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$1 - \log_3|x+1| = \log_3\frac{x+5}{x+3}$.

3. Решение преобразованного уравнения

Перенесем все логарифмические члены в одну сторону:
$1 = \log_3\frac{x+5}{x+3} + \log_3|x+1|$.
Применяя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получаем:
$1 = \log_3\left(\frac{x+5}{x+3} \cdot |x+1|\right)$.
Так как $1 = \log_3 3$, то:
$\log_3 3 = \log_3\left(\frac{(x+5)|x+1|}{x+3}\right)$.
Отсюда следует равенство аргументов логарифмов:
$3 = \frac{(x+5)|x+1|}{x+3}$.

Раскроем модуль $|x+1|$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x+1 > 0 \implies x > -1$.
С учетом ОДЗ, этот случай соответствует интервалу $x \in (-1, +\infty)$. Тогда $|x+1|=x+1$.
$3 = \frac{(x+5)(x+1)}{x+3}$
$3(x+3) = x^2 + 6x + 5$
$3x + 9 = x^2 + 6x + 5$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Корень $x_1=1$ удовлетворяет условию $x > -1$.
Корень $x_2=-4$ не удовлетворяет условию $x > -1$, поэтому он является посторонним для данного случая.

Случай 2: $x+1 < 0 \implies x < -1$.
С учетом ОДЗ, этот случай соответствует $x \in (-\infty, -5) \cup (-3, -1)$. Тогда $|x+1|=-(x+1)$.
$3 = \frac{(x+5)(-(x+1))}{x+3}$
$3(x+3) = -(x^2 + 6x + 5)$
$3x + 9 = -x^2 - 6x - 5$
$x^2 + 9x + 14 = 0$
Корни этого квадратного уравнения по теореме Виета $x_3 = -2$ и $x_4 = -7$.
Корень $x_3=-2$ принадлежит интервалу $(-3, -1)$ и удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_4=-7$ принадлежит интервалу $(-\infty, -5)$ и удовлетворяет ОДЗ.

4. Нахождение суммы корней

Итак, мы получили три действительных корня исходного уравнения, удовлетворяющих ОДЗ: $1$, $-2$ и $-7$.
Найдем их сумму:
$1 + (-2) + (-7) = 1 - 2 - 7 = -8$.

Ответ: $-8$.