Номер 3.164, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.164. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \lg x + \lg y = 5, \\ \lg x - \lg y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 3, \\ \log_{\frac{1}{3}} x + \log_3 y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5\log_{\frac{1}{2}} x + 3\log_2 y = -11, \\ 4\log_{\frac{1}{2}} x + \log_2 y = -13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \log_5 x + \log_2 y^4 = 13, \\ \log_5 x^4 + \log_{\frac{1}{2}} y = 1. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} \lg x + \lg y = 5, \\ \lg x - \lg y = 3;\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Данная система является линейной относительно $\lg x$ и $\lg y$. Для ее решения введем замену переменных. Пусть $u = \lg x$ и $v = \lg y$. Система примет вид:$\begin{cases} u + v = 5, \\ u - v = 3;\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:$ (u+v) + (u-v) = 5+3 $$ 2u = 8 $$ u = 4 $

Подставим найденное значение $u=4$ в первое уравнение $u+v=5$:$ 4 + v = 5 $$ v = 1 $

Теперь выполним обратную замену:$ \lg x = u = 4 \implies x = 10^4 = 10000 $$ \lg y = v = 1 \implies y = 10^1 = 10 $

Найденные значения $x=10000$ и $y=10$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(10000, 10)$.

б)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 3, \\ \log_{\frac{1}{3}} x + \log_3 y = 3;\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:$ \log_9 y = \log_{3^2} y = \frac{1}{2}\log_3 y $$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x $

Подставим преобразованные выражения в систему:$\begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 3, \\ -\log_3 x + \log_3 y = 3;\end{cases}$

Введем замену: $u = \log_3 x$, $v = \log_3 y$.$\begin{cases} u + \frac{1}{2}v = 3, \\ -u + v = 3;\end{cases}$

Сложим два уравнения полученной системы:$ (u + \frac{1}{2}v) + (-u + v) = 3 + 3 $$ \frac{3}{2}v = 6 $$ v = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 $

Подставим $v=4$ во второе уравнение $ -u + v = 3 $:$ -u + 4 = 3 $$ -u = -1 $$ u = 1 $

Выполним обратную замену:$ \log_3 x = u = 1 \implies x = 3^1 = 3 $$ \log_3 y = v = 4 \implies y = 3^4 = 81 $

Найденные значения $x=3$ и $y=81$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 81)$.

в)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} 5\log_{\frac{1}{2}} x + 3\log_2 y = -11, \\ 4\log_{\frac{1}{2}} x + \log_2 y = -13;\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ к основанию 2:$ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x $

Система примет вид:$\begin{cases} -5\log_2 x + 3\log_2 y = -11, \\ -4\log_2 x + \log_2 y = -13;\end{cases}$

Введем замену: $u = \log_2 x$, $v = \log_2 y$.$\begin{cases} -5u + 3v = -11, \\ -4u + v = -13;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$:$ v = 4u - 13 $

Подставим это выражение в первое уравнение:$ -5u + 3(4u - 13) = -11 $$ -5u + 12u - 39 = -11 $$ 7u = 28 $$ u = 4 $

Теперь найдем $v$, подставив $u=4$ в выражение для $v$:$ v = 4(4) - 13 = 16 - 13 = 3 $

Выполним обратную замену:$ \log_2 x = u = 4 \implies x = 2^4 = 16 $$ \log_2 y = v = 3 \implies y = 2^3 = 8 $

Найденные значения $x=16$ и $y=8$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(16, 8)$.

г)

Исходная система уравнений:$\begin{cases} \log_5 x + \log_2 y^4 = 13, \\ \log_5 x^4 + \log_{\frac{1}{2}} y = 1;\end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Упростим логарифмические выражения, используя свойства логарифмов $\log_b a^c = c\log_b a$ (при $a>0$) и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:$ \log_2 y^4 = 4\log_2 y $$ \log_5 x^4 = 4\log_5 x $$ \log_{\frac{1}{2}} y = \log_{2^{-1}} y = -\log_2 y $

Система уравнений преобразуется к виду:$\begin{cases} \log_5 x + 4\log_2 y = 13, \\ 4\log_5 x - \log_2 y = 1;\end{cases}$

Введем замену: $u = \log_5 x$, $v = \log_2 y$.$\begin{cases} u + 4v = 13, \\ 4u - v = 1;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$:$ v = 4u - 1 $

Подставим это выражение в первое уравнение:$ u + 4(4u - 1) = 13 $$ u + 16u - 4 = 13 $$ 17u = 17 $$ u = 1 $

Теперь найдем $v$:$ v = 4(1) - 1 = 3 $

Выполним обратную замену:$ \log_5 x = u = 1 \implies x = 5^1 = 5 $$ \log_2 y = v = 3 \implies y = 2^3 = 8 $

Найденные значения $x=5$ и $y=8$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, 8)$.