Номер 3.161, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.161. Решите уравнение:

a) $\log_2 (9 - 2^x) = 3 - x;$

б) $x + \log_2 (2^x - 6) = \log_2 (2^{x+2} - 16).$

а) $\log_2(9 - 2^x) = 3 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$9 - 2^x > 0$
$9 > 2^x$
$x < \log_2 9$

Теперь решим уравнение. По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:
$9 - 2^x = 2^{3-x}$
$9 - 2^x = \frac{2^3}{2^x}$
$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
$9 - t = \frac{8}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t(9 - t) = 8$
$9t - t^2 = 8$
$t^2 - 9t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 9$
$t_1 \cdot t_2 = 8$
Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $2^x = t_1 = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x_1 = 0$.
2) $2^x = t_2 = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_2 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x < \log_2 9$.
Так как $3 = \log_2 8$, а $\log_2 8 < \log_2 9$, то оба корня $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 3$.

б) $x + \log_2(2^x - 6) = \log_2(2^{x+2} - 16)$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2^x - 6 > 0 \\ 2^{x+2} - 16 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2^x > 6 \\ 2^x \cdot 2^2 > 16 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \log_2 6 \\ 4 \cdot 2^x > 16 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \log_2 6 \\ 2^x > 4 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \log_2 6 \\ x > 2 \end{cases}$
Так как $2 = \log_2 4$ и $\log_2 6 > \log_2 4$, то более строгим является условие $x > \log_2 6$.
ОДЗ: $x \in (\log_2 6, +\infty)$.

Преобразуем уравнение. Представим $x$ в виде логарифма по основанию 2: $x = \log_2(2^x)$.
$\log_2(2^x) + \log_2(2^x - 6) = \log_2(2^{x+2} - 16)$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2(2^x \cdot (2^x - 6)) = \log_2(4 \cdot 2^x - 16)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$2^x(2^x - 6) = 4 \cdot 2^x - 16$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Из ОДЗ следует, что $x > \log_2 6$, значит $t = 2^x > 2^{\log_2 6} = 6$. Ищем корни $t > 6$.
$t(t-6) = 4t - 16$
$t^2 - 6t = 4t - 16$
$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 10$
$t_1 \cdot t_2 = 16$
Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 6$:
$t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $t > 6$ (посторонний корень).
$t_2 = 8$ удовлетворяет условию $t > 6$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ $x > \log_2 6$.
$3 = \log_2 8$. Так как $8 > 6$, то $\log_2 8 > \log_2 6$. Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.