Номер 3.166, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.166*. Решите уравнение $\log_8 x + \log_8^2 x + \log_8^3 x = -1$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма $x$ должен быть строго положительным: $ x > 0 $

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \log_{8}x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде кубического уравнения относительно $t$: $ t + t^2 + t^3 = -1 $

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид уравнения: $ t^3 + t^2 + t + 1 = 0 $

Решим полученное уравнение методом группировки слагаемых. Сгруппируем первые два и последние два члена: $ (t^3 + t^2) + (t + 1) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы: $ t^2(t + 1) + 1(t + 1) = 0 $

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(t + 1)$: $ (t + 1)(t^2 + 1) = 0 $

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $t + 1 = 0 \implies t = -1$.

2. $t^2 + 1 = 0 \implies t^2 = -1$. Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, мы получили единственное действительное решение для переменной $t$: $t = -1$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$: $ \log_{8}x = t $ $ \log_{8}x = -1 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), находим значение $x$: $ x = 8^{-1} $ $ x = \frac{1}{8} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{1}{8}$ области допустимых значений ($x > 0$). Так как $ \frac{1}{8} > 0 $, корень подходит.

Ответ: $ \frac{1}{8} $.