Номер 3.173, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.173*. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения $\log_{0.5} (\log_2^2 x - 3\log_2 x + 4) = -1.$

Исходное уравнение: $log_{0,5}(log_2^2 x - 3log_2 x + 4) = -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:
1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
2. Аргумент внешнего логарифма также должен быть строго больше нуля: $log_2^2 x - 3log_2 x + 4 > 0$.

Проверим второе условие. Сделаем замену переменной $t = log_2 x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 3t + 4 > 0$.
Это квадратичное неравенство относительно $t$. Найдем дискриминант соответствующего квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $t^2$) положителен (равен 1), парабола $y = t^2 - 3t + 4$ полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство $t^2 - 3t + 4 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $t$.
Следовательно, второе условие ОДЗ выполняется для всех $x$, при которых определен $log_2 x$.
Таким образом, ОДЗ для исходного уравнения: $x > 0$.

Теперь перейдем к решению уравнения. Используя основное логарифмическое тождество $log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$, преобразуем уравнение:
$log_2^2 x - 3log_2 x + 4 = (0,5)^{-1}$
Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, то $(0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
$log_2^2 x - 3log_2 x + 4 = 2$

Перенесем все члены в левую часть:
$log_2^2 x - 3log_2 x + 4 - 2 = 0$
$log_2^2 x - 3log_2 x + 2 = 0$

Снова выполним замену переменной $t = log_2 x$. Уравнение примет вид квадратного:
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Легко подобрать корни:
$t_1 = 1$
$t_2 = 2$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. При $t_1 = 1$:
$log_2 x = 1$
$x_1 = 2^1 = 2$
2. При $t_2 = 2$:
$log_2 x = 2$
$x_2 = 2^2 = 4$

Оба найденных корня ($x_1 = 2$ и $x_2 = 4$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

По условию задачи требуется найти сумму корней уравнения.
Сумма корней = $x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6$.

Ответ: 6