Номер 3.180, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.180. Решите уравнение с помощью метода замены переменной:

a) $\log_2^2 x - \log_2 x - 2 = 0;$

б) $\log_2^2 x - 3\log_2 x = 4;$

В) $4 - \lg^2 x = 3\lg x;$

Г) $\log_5^2 x - \log_{\sqrt{5}} x = 3.$

а) $\log_2^2 x - \log_2 x - 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t^2 - t - 2 = 0$

Находим корни этого уравнения, например, по теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) Если $t=2$, то $\log_2 x = 2$, откуда $x_1 = 2^2 = 4$.

2) Если $t=-1$, то $\log_2 x = -1$, откуда $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($4$ и $\frac{1}{2}$) положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; \frac{1}{2}$.

б) $\log_2^2 x - 3\log_2 x = 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $\log_2^2 x - 3\log_2 x - 4 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Находим корни уравнения по теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) Если $t=4$, то $\log_2 x = 4$, откуда $x_1 = 2^4 = 16$.

2) Если $t=-1$, то $\log_2 x = -1$, откуда $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Оба корня ($16$ и $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $16; \frac{1}{2}$.

в) $4 - \lg^2 x = 3\lg x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и запишем в стандартном виде: $\lg^2 x + 3\lg x - 4 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$. (Напомним, что $\lg x = \log_{10} x$)

Введем замену переменной: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = -4$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) Если $t=1$, то $\lg x = 1$, откуда $x_1 = 10^1 = 10$.

2) Если $t=-4$, то $\lg x = -4$, откуда $x_2 = 10^{-4} = 0.0001$.

Оба корня ($10$ и $0.0001$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; 0.0001$.

г) $\log_5^2 x - \log_{\sqrt{5}} x = 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифм с основанием $\sqrt{5}$ к основанию $5$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{5}} x = \log_{5^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_5 x = 2\log_5 x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение и перенесем все члены влево:

$\log_5^2 x - 2\log_5 x - 3 = 0$

Введем замену переменной: пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

1) Если $t=3$, то $\log_5 x = 3$, откуда $x_1 = 5^3 = 125$.

2) Если $t=-1$, то $\log_5 x = -1$, откуда $x_2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.