Номер 3.181, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.181. Найдите абсциссу точки пересечения графика функции $y = \log_9 x + \log_{\sqrt{3}} x$ и прямой $y = 10$.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения графика функции $y = \log_9 x + \log_{\sqrt{3}} x$ и прямой $y = 10$, необходимо приравнять их правые части, так как в точке пересечения их координаты $y$ совпадают.

Получаем уравнение:

$\log_9 x + \log_{\sqrt{3}} x = 10$

Для решения этого уравнения необходимо привести логарифмы к одному основанию. Удобно выбрать основание 3, так как $9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию в логарифме, в частности свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем первый член уравнения:

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

Преобразуем второй член уравнения:

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$\frac{1}{2} \log_3 x + 2 \log_3 x = 10$

Сложим коэффициенты при $\log_3 x$:

$(\frac{1}{2} + 2) \log_3 x = 10$

$(\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) \log_3 x = 10$

$\frac{5}{2} \log_3 x = 10$

Теперь выразим $\log_3 x$:

$\log_3 x = 10 \cdot \frac{2}{5}$

$\log_3 x = 4$

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:

$x = 3^4$

$x = 81$

Найденное значение $x=81$ удовлетворяет области определения логарифмической функции ($x > 0$).

Ответ: 81