Номер 3.188, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.188. Решите уравнение:

а) $ \log_3(3^x - 8) = 2 - x; $

б) $ x + \log_3(3^x - 7) = \log_3(3^{x+1} - 9). $

а) $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$3^x - 8 > 0$
$3^x > 8$
Прологарифмировав обе части неравенства по основанию 3, получаем:
$x > \log_3 8$

Теперь решим уравнение. По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):
$3^x - 8 = 3^{2-x}$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$3^x - 8 = \frac{3^2}{3^x}$
$3^x - 8 = \frac{9}{3^x}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$t - 8 = \frac{9}{t}$

Умножим обе части на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):
$t(t-8) = 9$
$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно -9. Корнями являются:
$t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 9$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ - не удовлетворяет условию, так как $t$ должно быть положительным. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для $t=9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_3 8$).
Сравним $2$ и $\log_3 8$. Представим $2$ как $\log_3 3^2 = \log_3 9$.
Так как $9 > 8$ и основание логарифма $3 > 1$, то $\log_3 9 > \log_3 8$, следовательно, $2 > \log_3 8$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$

б) $x + \log_3(3^x - 7) = \log_3(3^{x+1} - 9)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительны:
$\begin{cases} 3^x - 7 > 0 \\ 3^{x+1} - 9 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3^x > 7 \\ 3 \cdot 3^x > 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_3 7 \\ 3^x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_3 7 \\ x > 1 \end{cases}$
Сравним $\log_3 7$ и $1$. Так как $1 = \log_3 3$, а $7 > 3$, то $\log_3 7 > 1$. Таким образом, более сильным условием является $x > \log_3 7$.
ОДЗ: $x > \log_3 7$.

Преобразуем уравнение. Представим $x$ в виде логарифма по основанию 3, используя свойство $a = \log_b b^a$:
$x = \log_3 3^x$
Подставим это в исходное уравнение:
$\log_3 3^x + \log_3(3^x - 7) = \log_3(3^{x+1} - 9)$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_3(3^x(3^x - 7)) = \log_3(3^{x+1} - 9)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$3^x(3^x - 7) = 3^{x+1} - 9$
$3^x(3^x - 7) = 3 \cdot 3^x - 9$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Из ОДЗ ($x > \log_3 7$) следует, что $t = 3^x > 3^{\log_3 7} = 7$. Итак, $t > 7$.
$t(t-7) = 3t - 9$

Решим полученное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t = 3t - 9$
$t^2 - 10t + 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 9. Корнями являются:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t > 7$.
$t_1 = 1$ - не удовлетворяет условию ($1 \ngtr 7$). Это посторонний корень.
$t_2 = 9$ - удовлетворяет условию ($9 > 7$).

Выполним обратную замену для $t=9$:
$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_3 7$).
Сравним $2$ и $\log_3 7$. Представим $2$ как $\log_3 3^2 = \log_3 9$.
Так как $9 > 7$ и основание логарифма $3 > 1$, то $\log_3 9 > \log_3 7$, следовательно, $2 > \log_3 7$.
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$