Номер 3.191, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.191. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} 3\log_{\frac{1}{2}} x - \log_5 y = -13, \\ 2\log_{\frac{1}{2}} x + 3\log_5 y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_2 x + \log_6 y^3 = 7, \\ \log_2 x^3 + \log_{\frac{1}{6}} y = 11. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3\log_{\frac{1}{2}} x - \log_5 y = -13 \\ 2\log_{\frac{1}{2}} x + 3\log_5 y = -5 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $b = \log_5 y$.

После замены система примет вид линейной системы уравнений:

$$ \begin{cases} 3a - b = -13 \\ 2a + 3b = -5 \end{cases} $$

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 9a - 3b = -39 \\ 2a + 3b = -5 \end{cases} $$

Теперь сложим оба уравнения почленно:

$(9a - 3b) + (2a + 3b) = -39 + (-5)$

$11a = -44$

$a = -4$

Подставим найденное значение $a = -4$ в первое уравнение исходной линейной системы ($3a - b = -13$):

$3(-4) - b = -13$

$-12 - b = -13$

$-b = -13 + 12$

$-b = -1$

$b = 1$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

1) $a = \log_{\frac{1}{2}} x = -4$

По определению логарифма: $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4 = 16$.

2) $b = \log_5 y = 1$

По определению логарифма: $y = 5^1 = 5$.

Найденные значения $x=16$ и $y=5$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Проверка:

Первое уравнение: $3\log_{\frac{1}{2}} 16 - \log_5 5 = 3(-4) - 1 = -12 - 1 = -13$.

Второе уравнение: $2\log_{\frac{1}{2}} 16 + 3\log_5 5 = 2(-4) + 3(1) = -8 + 3 = -5$.

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(16; 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2 x + \log_6 y^3 = 7 \\ \log_2 x^3 + \log_{\frac{1}{6}} y = 11 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем систему, используя свойства логарифмов $\log_a b^c = c \log_a b$ и $\log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b$:

$$ \begin{cases} \log_2 x + 3\log_6 y = 7 \\ 3\log_2 x - \log_6 y = 11 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = \log_2 x$ и $v = \log_6 y$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} u + 3v = 7 \\ 3u - v = 11 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $v$:

$v = 3u - 11$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u + 3(3u - 11) = 7$

$u + 9u - 33 = 7$

$10u = 40$

$u = 4$

Теперь найдем $v$, подставив значение $u$ в выражение для $v$:

$v = 3(4) - 11 = 12 - 11 = 1$

Выполним обратную замену:

1) $u = \log_2 x = 4$

Отсюда $x = 2^4 = 16$.

2) $v = \log_6 y = 1$

Отсюда $y = 6^1 = 6$.

Найденные значения $x=16$ и $y=6$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Проверка:

Первое уравнение: $\log_2 16 + \log_6 6^3 = 4 + 3 = 7$.

Второе уравнение: $\log_2 16^3 + \log_{\frac{1}{6}} 6 = 3\log_2 16 - \log_6 6 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$.

Оба равенства верны.

Ответ: $(16; 6)$.