Номер 3.196, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.196*. Решите уравнение $4^{\log_2 \lg x} = \lg x - \lg^2 x + 1$.

Исходное уравнение: $4^{\log_2 \lg x} = \lg x - \lg^2 x + 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Для существования логарифма $\lg x$, необходимо, чтобы $x > 0$.
Для существования логарифма $\log_2 \lg x$, необходимо, чтобы его аргумент был положителен: $\lg x > 0$.
Решим неравенство $\lg x > 0$, что эквивалентно $\log_{10} x > \log_{10} 1$.
Поскольку основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, следовательно, $x > 1$.
Итак, ОДЗ уравнения: $x > 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней и логарифмов. Представим $4$ как $2^2$:$4^{\log_2 \lg x} = (2^2)^{\log_2 \lg x} = 2^{2 \log_2 \lg x}$.
Воспользуемся свойством логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:$2^{2 \log_2 \lg x} = 2^{\log_2 ((\lg x)^2)} = 2^{\log_2 (\lg^2 x)}$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:$2^{\log_2 (\lg^2 x)} = \lg^2 x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:$\lg^2 x = \lg x - \lg^2 x + 1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:$\lg^2 x + \lg^2 x - \lg x - 1 = 0$
$2\lg^2 x - \lg x - 1 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:$2t^2 - t - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену.
1) При $t_1 = 1$:$\lg x = 1$
$x = 10^1 = 10$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($10 > 1$).

2) При $t_2 = -1/2$:$\lg x = -1/2$
$x = 10^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{\sqrt{10}} < 1$. Следовательно, это посторонний корень.
(Также можно было отсеять корень $t_2 = -1/2$ ранее, так как из ОДЗ следует $\lg x > 0$, то есть $t > 0$).

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $10$.