Номер 3.202, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.202. Представьте выражение $\left(\frac{4}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}\right):\frac{3}{x^2+4x+4}$ в виде несократимой дроби.

Для того чтобы представить выражение в виде несократимой дроби, необходимо последовательно выполнить все действия: сначала сложение в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $\left(\frac{4}{x^2-4} + \frac{1}{2-x}\right)$

Сначала преобразуем знаменатели. Знаменатель первой дроби $x^2-4$ является разностью квадратов и раскладывается на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

В знаменателе второй дроби $2-x$ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение, схожее с множителем в первом знаменателе: $2-x = -(x-2)$.

Подставим преобразованные знаменатели в выражение:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{-(x-2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(x+2)$:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2-x}{(x-2)(x+2)}$

Сократим полученную дробь, учитывая, что $2-x = -(x-2)$:

$\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{1}{x+2}$

2. Упростим делитель: $\frac{3}{x^2+4x+4}$

Знаменатель дроби $x^2+4x+4$ является полным квадратом суммы и сворачивается по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

Таким образом, делитель равен $\frac{3}{(x+2)^2}$.

3. Выполним деление

Исходное выражение после упрощения частей принимает вид:

$\left(-\frac{1}{x+2}\right) : \frac{3}{(x+2)^2}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь:

$-\frac{1}{x+2} \cdot \frac{(x+2)^2}{3} = -\frac{1 \cdot (x+2)^2}{3 \cdot (x+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+2 \neq 0$):

$-\frac{x+2}{3}$

Это и есть искомая несократимая дробь. Область допустимых значений исходного выражения: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Ответ: $-\frac{x+2}{3}$