Номер 3.209, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.209. Найдите значение выражения $\log_2 \sin \frac{7\pi}{8} + \log_2 \cos \frac{\pi}{8} + 1$.

Для решения данного выражения необходимо последовательно применить свойства логарифмов и тригонометрические тождества.

Исходное выражение: $\log_2 \sin\frac{7\pi}{8} + \log_2 \cos\frac{\pi}{8} + 1$.

1. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.

$\log_2 \sin\frac{7\pi}{8} + \log_2 \cos\frac{\pi}{8} = \log_2 \left( \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \right)$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\log_2 \left( \sin\frac{7\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \right) + 1$.

2. Упростим тригонометрическое произведение в аргументе логарифма. Используем формулу приведения для синуса: $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.

Представим угол $\frac{7\pi}{8}$ как $\pi - \frac{\pi}{8}$.

$\sin\frac{7\pi}{8} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{8}$.

Подставим это в произведение:

$\sin\frac{7\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8}$.

3. Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Отсюда следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Для $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем:

$\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}$.

4. Вычислим значение полученного выражения, зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

5. Подставим найденное значение обратно в логарифм:

$\log_2 \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 1$.

Чтобы вычислить логарифм, представим его аргумент как степень двойки:

$\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2^{1/2}}{2^2} = 2^{1/2 - 2} = 2^{-3/2}$.

Тогда:

$\log_2(2^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$.

6. Завершим вычисление исходного выражения:

$-\frac{3}{2} + 1 = -\frac{3}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.