Номер 3.214, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.214. Решите показательное неравенство:

а) $ \left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3x-1}{2x+5}} < \frac{3}{7} $

б) $ 0,6^{x^2 - x} > \frac{9}{25} $

а) $\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3x-1}{2x+5}} < \frac{3}{7}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с тем же основанием $\frac{3}{7}$: $\frac{3}{7} = \left(\frac{3}{7}\right)^1$.

Теперь исходное неравенство можно переписать так:

$\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3x-1}{2x+5}} < \left(\frac{3}{7}\right)^1$

Основание степени $a = \frac{3}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что для показателей степеней будет выполняться неравенство с противоположным знаком:

$\frac{3x-1}{2x+5} > 1$

Для решения этого рационального неравенства перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю. Также необходимо учесть, что знаменатель дроби в показателе не может быть равен нулю, то есть $2x+5 \neq 0$, откуда $x \neq -2.5$.

$\frac{3x-1}{2x+5} - 1 > 0$

$\frac{3x-1 - (2x+5)}{2x+5} > 0$

$\frac{3x-1 - 2x - 5}{2x+5} > 0$

$\frac{x-6}{2x+5} > 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

$x-6=0 \implies x=6$

$2x+5=0 \implies x=-2.5$

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; 6)$ и $(6; \infty)$. Определим знак дроби $\frac{x-6}{2x+5}$ на каждом интервале:

• На интервале $(6; \infty)$, например при $x=7$, выражение $\frac{7-6}{2(7)+5} = \frac{1}{19}$ положительно.
• На интервале $(-2.5; 6)$, например при $x=0$, выражение $\frac{0-6}{2(0)+5} = -\frac{6}{5}$ отрицательно.
• На интервале $(-\infty; -2.5)$, например при $x=-3$, выражение $\frac{-3-6}{2(-3)+5} = \frac{-9}{-1} = 9$ положительно.

Поскольку знак неравенства ">", решением являются интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (6; \infty)$.

б) $0,6^{x^2 - x} > \frac{9}{25}$

Для решения этого неравенства приведем обе его части к одному основанию. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Правую часть неравенства также представим в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$: $\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2 - x} > \left(\frac{3}{5}\right)^2$

Основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - x < 2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями параболы.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.