Номер 3.216, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.216. Докажите тождество $ \frac{\sin(\alpha + 3\pi)}{\sin\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} + \frac{\cos(3\pi - \alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - 1} = \frac{1}{\cos\alpha} $.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами приведения и периодичностью тригонометрических функций.

Сначала упростим каждое из тригонометрических выражений в левой части:

1. $\sin(\alpha + 3\pi) = \sin(\alpha + \pi + 2\pi) = \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$

2. $\cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

3. $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha$

4. $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{\sin(\alpha + 3\pi)}{\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2})} + \frac{\cos(3\pi - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - 1} = \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} + \frac{-\cos\alpha}{-\sin\alpha - 1}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{-\cos\alpha}{-(\sin\alpha + 1)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\alpha(1 + \sin\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha(1 + \sin\alpha) + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{\sin\alpha + 1}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin\alpha)$. Это допустимо, так как из области определения исходного выражения следует, что $\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \neq 0$ (т.е. $\cos\alpha \neq 0$) и $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - 1 \neq 0$ (т.е. $\sin\alpha \neq -1$).

$\frac{1}{\cos\alpha}$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна его правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.