Номер 3.219, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.219. Примените формулу разности синусов и решите уравнение $sin3x - sinx + cos2x = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \sin 3x - \sin x + \cos 2x = 0 $$

В соответствии с условием задачи, первым шагом преобразуем разность синусов с помощью формулы $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $.
В нашем уравнении $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $. Применяем формулу:

$$ \sin 3x - \sin x = 2 \sin \frac{3x - x}{2} \cos \frac{3x + x}{2} = 2 \sin \frac{2x}{2} \cos \frac{4x}{2} = 2 \sin x \cos 2x $$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$$ 2 \sin x \cos 2x + \cos 2x = 0 $$

Мы можем вынести общий множитель $ \cos 2x $ за скобки:

$$ \cos 2x (2 \sin x + 1) = 0 $$

Это уравнение распадается на два, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $ \cos 2x = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решения находятся по формуле:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

Чтобы найти $ x $, разделим обе части на 2:

$$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

2) $ 2 \sin x + 1 = 0 $

Сначала выразим $ \sin x $:

$$ 2 \sin x = -1 $$

$$ \sin x = -\frac{1}{2} $$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$$ x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Поскольку $ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $, подставляем это значение в формулу:

$$ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Объединив решения обоих случаев, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, $ где $ n, k \in \mathbb{Z} $.