Номер 3.225, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.225. Сравните значения выражений:

a) $\log_3 7$ и $\log_3 \sqrt{47}$;

б) $\log_{\frac{3}{4}} 2$ и $\log_{\frac{3}{4}} \sqrt{3}$;

в) $\log_{16} 2^4$ и $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$.

а) Для сравнения выражений $\log_3 7$ и $\log_3 \sqrt{47}$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Основание логарифмов в обоих выражениях одинаковое и равно $3$. Так как основание $a=3 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $\sqrt{47}$.
Чтобы их сравнить, возведем оба положительных числа в квадрат: $7^2 = 49$
$(\sqrt{47})^2 = 47$
Поскольку $49 > 47$, то $7 > \sqrt{47}$.
Так как логарифмическая функция с основанием $3$ является возрастающей, из неравенства $7 > \sqrt{47}$ следует, что $\log_3 7 > \log_3 \sqrt{47}$.
Ответ: $\log_3 7 > \log_3 \sqrt{47}$.

б) Для сравнения выражений $\log_{\frac{3}{4}} 2$ и $\log_{\frac{3}{4}} \sqrt{3}$ рассмотрим их основание. Основание логарифмов $a = \frac{3}{4}$. Так как $0 < \frac{3}{4} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{3}{4}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма, то есть знак неравенства для аргументов будет противоположным знаку неравенства для логарифмов.
Сравним аргументы: $2$ и $\sqrt{3}$.
Возведем оба положительных числа в квадрат: $2^2 = 4$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Поскольку $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$.
Так как логарифмическая функция с основанием $\frac{3}{4}$ является убывающей, из неравенства $2 > \sqrt{3}$ следует, что $\log_{\frac{3}{4}} 2 < \log_{\frac{3}{4}} \sqrt{3}$.
Ответ: $\log_{\frac{3}{4}} 2 < \log_{\frac{3}{4}} \sqrt{3}$.

в) Для сравнения выражений $\log_{16} 2^4$ и $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$ необходимо сначала упростить каждое из них или привести к общему основанию, если это возможно. В данном случае проще вычислить значение первого выражения и сравнить второе с единицей.
Найдем значение первого выражения: $\log_{16} 2^4 = \log_{16} 16 = 1$.
Теперь рассмотрим второе выражение $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$. Сравним его с $1$. Для этого представим $1$ в виде логарифма с таким же основанием $\sqrt{5}$: $1 = \log_{\sqrt{5}} \sqrt{5}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$ и $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{5}$.
Основание логарифма $a = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $a > 1$, и, следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{\sqrt{5}} x$ является возрастающей.
Сравним аргументы: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.
Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Для возрастающей функции из $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ следует, что $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3} < \log_{\sqrt{5}} \sqrt{5}$.
Это означает, что $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3} < 1$.
Итак, мы получили, что $\log_{16} 2^4 = 1$, а $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3} < 1$. Следовательно, $\log_{16} 2^4 > \log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$.
Ответ: $\log_{16} 2^4 > \log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}$.