Номер вопрос 2, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Неравенство $\log_{0,4} (x-2) < \log_{0,4} (2x+4)$ равносильно системе:

a)$\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$

б)$\begin{cases} x-2 > 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$

в)$\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ x-4 > 0. \end{cases}$

Выберите правильный ответ.

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) < \log_a g(x)$. Решение таких неравенств зависит от основания логарифма $a$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} $

2. Решение самого неравенства.

Основание логарифма в данном неравенстве $a = 0.4$.

Так как основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (поскольку $0 < 0.4 < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{0.4}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, неравенство $\log_{0.4}(x - 2) < \log_{0.4}(2x + 4)$ равносильно неравенству $x - 2 > 2x + 4$.

3. Составление равносильной системы.

Для нахождения решения исходного неравенства необходимо объединить все условия в одну систему:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2x + 4 > 0 \\ x - 2 > 2x + 4 \end{cases} $

Эту систему можно упростить. Обратим внимание на первое и третье неравенства: $x - 2 > 0$ и $x - 2 > 2x + 4$. Если мы потребуем выполнения третьего неравенства ($x - 2 > 2x + 4$) и второго неравенства ($2x + 4 > 0$), то первое неравенство ($x - 2 > 0$) будет выполняться автоматически по свойству транзитивности ($x-2 > 2x+4$ и $2x+4>0$ влечет $x-2>0$).

Таким образом, исходная система равносильна более простой системе, в которой мы требуем, чтобы меньший из аргументов был положителен, и чтобы аргументы удовлетворяли основному неравенству с измененным знаком:

$ \begin{cases} x - 2 > 2x + 4 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} $

Теперь сравним полученную систему с предложенными вариантами ответов.

а) $\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$

Этот вариант неверен, так как знак в первом неравенстве не изменен на противоположный. Такая система была бы верной для основания логарифма больше 1.

б) $\begin{cases} x-2 > 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$

Этот вариант полностью совпадает с полученной нами равносильной системой.

в) $\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ x-4 > 0. \end{cases}$

Этот вариант неверен. Знак в первом неравенстве не изменен, а второе неравенство ($x - 4 > 0$) не имеет отношения к области допустимых значений исходного неравенства.

Следовательно, правильный ответ — б.

Ответ: б)