Номер 3.226, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.226. Решите логарифмическое неравенство:

а) $log_5 x > 2;$

б) $log_{0,5} x \le -1;$

в) $log_2 x < -4;$

г) $log_{\frac{1}{3}} x \ge -2;$

д) $lg x < -2;$

е) $log_{\frac{1}{3}} x \ge 0.$

а) Решим неравенство $\log_5 x > 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием: аргумент логарифма должен быть положителен, то есть $x > 0$.
Основание логарифма $a=5$, так как $5 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 5: $2 = \log_5 5^2 = \log_5 25$.
Исходное неравенство можно переписать как $\log_5 x > \log_5 25$.
Так как основание больше 1, переходим к неравенству для аргументов: $x > 25$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $(25; +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_{0,5} x \le -1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a=0,5$, так как $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,5} x$ является убывающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5} (0,5)^{-1} = \log_{0,5} 2$.
Исходное неравенство можно переписать как $\log_{0,5} x \le \log_{0,5} 2$.
Так как основание меньше 1, меняем знак неравенства: $x \ge 2$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_2 x < -4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a=2$, так как $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $-4 = \log_2 2^{-4} = \log_2 \frac{1}{16}$.
Исходное неравенство переписывается как $\log_2 x < \log_2 \frac{1}{16}$.
Переходя к аргументам, получаем: $x < \frac{1}{16}$.
С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < \frac{1}{16}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{16})$.

г) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x \ge -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $-2 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 3^2 = \log_{\frac{1}{3}} 9$.
Исходное неравенство переписывается как $\log_{\frac{1}{3}} x \ge \log_{\frac{1}{3}} 9$.
Переходя к аргументам и меняя знак неравенства, получаем: $x \le 9$.
С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 9$.
Ответ: $(0; 9]$.

д) Решим неравенство $\lg x < -2$.
$\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a=10$, так как $10 > 1$, функция $y = \lg x$ возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg 10^{-2} = \lg 0,01$.
Исходное неравенство переписывается как $\lg x < \lg 0,01$.
Переходя к аргументам, получаем: $x < 0,01$.
С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x < 0,01$.
Ответ: $(0; 0,01)$.

е) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$.
Исходное неравенство переписывается как $\log_{\frac{1}{3}} x \ge \log_{\frac{1}{3}} 1$.
Переходя к аргументам и меняя знак неравенства, получаем: $x \le 1$.
С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 1$.
Ответ: $(0; 1]$.