Номер 3.227, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.227. Решите неравенство, учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции:

а) $log_5(2x - 4) > log_5(14 - x);$

б) $log_3(9 - 2x) \leq log_3(x + 3);$

в) $log_{\frac{2}{7}}(1 - 2x) > log_{\frac{2}{7}}(x - 5);$

г) $log_{0,3}(x - 5) \geq log_{0,3}(2x + 1).$

а) $\log_{5}(2x - 4) > \log_{5}(14 - x)$

1. Область определения (ОДЗ): Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
$\begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ 14 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 4 \\ x < 14 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2 \\ x < 14 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in (2; 14)$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $5 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.
$2x - 4 > 14 - x$
$2x + x > 14 + 4$
$3x > 18$
$x > 6$

3. Итоговое решение: Найдем пересечение решения $x > 6$ с областью определения $x \in (2; 14)$.
$\begin{cases} x > 6 \\ 2 < x < 14 \end{cases}$
Решением системы является интервал $(6; 14)$.

Ответ: $x \in (6; 14)$.

б) $\log_{3}(9 - 2x) \le \log_{3}(x + 3)$

1. Область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} 9 - 2x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 9 > 2x \\ x > -3 \end{cases}$
$\begin{cases} x < 4.5 \\ x > -3 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \in (-3; 4.5)$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $3 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется.
$9 - 2x \le x + 3$
$9 - 3 \le x + 2x$
$6 \le 3x$
$2 \le x$ или $x \ge 2$

3. Итоговое решение: Найдем пересечение решения $x \ge 2$ с областью определения $x \in (-3; 4.5)$.
$\begin{cases} x \ge 2 \\ -3 < x < 4.5 \end{cases}$
Решением системы является полуинтервал $[2; 4.5)$.

Ответ: $x \in [2; 4.5)$.

в) $\log_{\frac{2}{7}}(1 - 2x) > \log_{\frac{2}{7}}(x - 5)$

1. Область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} 1 - 2x > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 1 > 2x \\ x > 5 \end{cases}$
$\begin{cases} x < 0.5 \\ x > 5 \end{cases}$
Данная система неравенств не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно меньше 0.5 и больше 5. Область определения пуста.

2. Итоговое решение: Поскольку область определения пуста, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

г) $\log_{0.3}(x - 5) \ge \log_{0.3}(2x + 1)$

1. Область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 5 \\ 2x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 5 \\ x > -0.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 5$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $0.3 < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
$x - 5 \le 2x + 1$
$-5 - 1 \le 2x - x$
$-6 \le x$ или $x \ge -6$

3. Итоговое решение: Найдем пересечение решения $x \ge -6$ с областью определения $x \in (5; +\infty)$.
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x > 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.