Номер 3.222, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.222*. Найдите значение выражения $6 \cdot \text{tg}(\text{arctg}2 - \text{arctg}4)$

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы будем использовать формулу тангенса разности углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.

Обозначим $\alpha = \text{arctg}2$ и $\beta = \text{arcctg}4$. Нам нужно найти значение выражения $6 \cdot \text{tg}(\alpha - \beta)$.

Сначала найдем значения $\text{tg}\alpha$ и $\text{tg}\beta$.

1. По определению арктангенса, если $\alpha = \text{arctg}2$, то $\text{tg}\alpha = 2$.

2. По определению арккотангенса, если $\beta = \text{arcctg}4$, то $\text{ctg}\beta = 4$.

Мы знаем, что тангенс и котангенс связаны соотношением $\text{tg}\beta = \frac{1}{\text{ctg}\beta}$. Следовательно:

$\text{tg}\beta = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем подставить найденные значения $\text{tg}\alpha = 2$ и $\text{tg}\beta = \frac{1}{4}$ в формулу тангенса разности:

$\text{tg}(\text{arctg}2 - \text{arcctg}4) = \frac{\text{tg}(\text{arctg}2) - \text{tg}(\text{arcctg}4)}{1 + \text{tg}(\text{arctg}2) \cdot \text{tg}(\text{arcctg}4)} = \frac{2 - \frac{1}{4}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{4}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель: $2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

Знаменатель: $1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{7}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Мы получили, что $\text{tg}(\text{arctg}2 - \text{arcctg}4) = \frac{7}{6}$.

На последнем шаге умножим это значение на 6, как требуется в условии задачи:

$6 \cdot \frac{7}{6} = 7$

Ответ: 7