Номер 3.217, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.217. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 5x > x^2, \\ 25x^2 > 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (2+x)^2 \ge 9, \\ (2x+1)^2 < 25. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x > x^2, \\ 25x^2 > 16 \end{cases} $

Решим первое неравенство $5x > x^2$. Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду: $x^2 - 5x < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x = 0$, вынеся $x$ за скобки: $x(x - 5) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (0; 5)$.

Теперь решим второе неравенство $25x^2 > 16$. Перенесем 16 в левую часть: $25x^2 - 16 > 0$.

Найдем корни уравнения $25x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(5x - 4)(5x + 4) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -\frac{4}{5}$ и $x_2 = \frac{4}{5}$.

Графиком функции $y = 25x^2 - 16$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $25x^2 - 16 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

Для решения системы необходимо найти пересечение полученных множеств: $(0; 5) \cap ((-\infty; -\frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty))$.

Совмещая эти условия на числовой прямой, получаем итоговый интервал $(\frac{4}{5}; 5)$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{5}; 5)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (2 + x)^2 \ge 9, \\ (2x + 1)^2 < 25 \end{cases} $

Решим первое неравенство $(2 + x)^2 \ge 9$. Оно эквивалентно тому, что модуль выражения $2+x$ больше или равен 3: $|2+x| \ge 3$.

Это распадается на совокупность двух неравенств:

$ \left[ \begin{array}{l} 2 + x \ge 3, \\ 2 + x \le -3. \end{array} \right. $

Из первого неравенства получаем $x \ge 1$. Из второго — $x \le -5$.

Решением первого неравенства является объединение этих промежутков: $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$.

Далее решим второе неравенство $(2x + 1)^2 < 25$. Оно эквивалентно неравенству $|2x+1| < 5$.

Это равносильно двойному неравенству: $-5 < 2x + 1 < 5$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства: $-5 - 1 < 2x < 5 - 1$, что дает $-6 < 2x < 4$.

Разделим все части на 2: $-3 < x < 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-3; 2)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; -5] \cup [1; +\infty)) \cap (-3; 2)$.

Пересечение интервала $(-3; 2)$ с множеством $(-\infty; -5]$ является пустым множеством.

Пересечение интервала $(-3; 2)$ с множеством $[1; +\infty)$ является полуинтервалом $[1; 2)$.

Следовательно, решением системы является $x \in [1; 2)$.

Ответ: $x \in [1; 2)$.