Номер 3.210, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.210. Решите совокупность неравенств $ \begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0, \\ \frac{x}{x+1} \leq 0. \end{cases} $

Данная задача представляет собой совокупность двух неравенств. Это означает, что итоговое решение будет объединением решений каждого из неравенств. Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства: $x^2 + 3x + 2 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $2$. Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Теперь мы можем разложить левую часть неравенства на множители: $(x - (-2))(x - (-1)) > 0$, что эквивалентно $(x+2)(x+1) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-2$ и $-1$. Эти точки разбивают ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; \infty)$.

Так как графиком функции $y = x^2 + 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), значения функции будут положительными на интервалах, находящихся за пределами корней.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; \infty)$.

Решение второго неравенства: $\frac{x}{x+1} \le 0$

Это дробно-рациональное неравенство. Для его решения также применим метод интервалов.

Найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

Нуль числителя: $x=0$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в итоговое решение.

Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$. Эта точка всегда исключается из решения, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Отметим точки $-1$ (выколотая) и $0$ (закрашенная) на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x}{x+1}$ в каждом из полученных интервалов.

- При $x > 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1}{2}$ положительна.

- При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), дробь $\frac{-0.5}{0.5} = -1$ отрицательна.

- При $x < -1$ (например, $x=-2$), дробь $\frac{-2}{-1} = 2$ положительна.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где знак "минус", а также точка, где выражение равно нулю.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-1; 0]$.

Объединение решений

Итоговое решение совокупности является объединением множеств решений каждого из неравенств.

Решение первого неравенства: $S_1 = (-\infty; -2) \cup (-1; \infty)$.

Решение второго неравенства: $S_2 = (-1; 0]$.

Объединяем эти два множества: $S = S_1 \cup S_2 = ((-\infty; -2) \cup (-1; \infty)) \cup (-1; 0]$.

Заметим, что множество $(-1; 0]$ полностью содержится во множестве $(-1; \infty)$. Это означает, что объединение этих двух множеств равно большему из них, то есть $(-1; \infty)$.

Следовательно, итоговое решение совокупности есть $(-\infty; -2) \cup (-1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; \infty)$.