Номер 3.204, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.204. Расположите числа $\log_4 9$; $\log_3 0,1$; $\log_2 5$ в порядке возрастания.

Для того чтобы расположить числа $\log_4 9$, $\log_3 0.1$ и $\log_2 5$ в порядке возрастания, оценим значение каждого из них.

1. Оценка $\log_3 0.1$
Основание логарифма $a = 3$ больше 1. Аргумент логарифма $b = 0.1$ меньше 1. Для логарифмической функции $y = \log_a x$ с основанием $a > 1$ справедливо, что если $0 < x < 1$, то значение логарифма $y < 0$. Таким образом, $\log_3 0.1$ — отрицательное число.

2. Оценка $\log_4 9$
Основание $a = 4 > 1$ и аргумент $b = 9 > 1$, следовательно, логарифм положителен. Для более точной оценки сравним аргумент 9 со степенями основания 4:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$
Поскольку $4 < 9 < 16$ и логарифмическая функция с основанием 4 является возрастающей, справедливо неравенство:
$\log_4 4 < \log_4 9 < \log_4 16$
$1 < \log_4 9 < 2$
Значит, это число находится в интервале от 1 до 2.

3. Оценка $\log_2 5$
Основание $a = 2 > 1$ и аргумент $b = 5 > 1$, следовательно, логарифм также положителен. Сравним аргумент 5 со степенями основания 2:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
Поскольку $4 < 5 < 8$ и логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, справедливо неравенство:
$\log_2 4 < \log_2 5 < \log_2 8$
$2 < \log_2 5 < 3$
Значит, это число находится в интервале от 2 до 3.

4. Итоговое сравнение
Теперь мы имеем следующие оценки:
$\log_3 0.1 < 0$
$1 < \log_4 9 < 2$
$2 < \log_2 5 < 3$
Из этих неравенств очевидно, что наименьшим является отрицательное число $\log_3 0.1$. Далее, поскольку $\log_4 9$ меньше 2, а $\log_2 5$ больше 2, то $\log_4 9 < \log_2 5$.
Таким образом, располагая числа в порядке возрастания, получаем следующую последовательность: $\log_3 0.1$, $\log_4 9$, $\log_2 5$.

Ответ: $\log_3 0.1; \log_4 9; \log_2 5$.