Номер 3.203, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.203. Воспользуйтесь формулами сложения и найдите значение выражения

$ \frac{\sin17^\circ \cos13^\circ + \sin13^\circ \cos17^\circ}{\cos20^\circ \cos25^\circ - \sin20^\circ \sin25^\circ} $

Для нахождения значения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами сложения.

1. Упрощение числителя.
Числитель дроби имеет вид $ \sin 17^\circ \cos 13^\circ + \sin 13^\circ \cos 17^\circ $.
Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов:$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = 17^\circ $ и $ \beta = 13^\circ $:
$ \sin 17^\circ \cos 13^\circ + \cos 17^\circ \sin 13^\circ = \sin(17^\circ + 13^\circ) = \sin(30^\circ) $.
Значение синуса 30 градусов является табличным: $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.

2. Упрощение знаменателя.
Знаменатель дроби имеет вид $ \cos 20^\circ \cos 25^\circ - \sin 20^\circ \sin 25^\circ $.
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов:$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 25^\circ $:
$ \cos 20^\circ \cos 25^\circ - \sin 20^\circ \sin 25^\circ = \cos(20^\circ + 25^\circ) = \cos(45^\circ) $.
Значение косинуса 45 градусов является табличным: $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

3. Вычисление значения выражения.
Теперь подставим полученные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:
$ \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $.
Упростим полученное частное:
$ \frac{1}{2} \div \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.