Номер 3.206, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.206. С помощью рисунка 32, на котором изображены графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, найдите сумму целых решений неравенства $f(x) \le g(x)$ на промежутке $[-7; 6]$.

Рис. 32

Чтобы решить неравенство $f(x) \le g(x)$ с помощью представленных графиков, необходимо найти все значения $x$, при которых график функции $y = f(x)$ (изображен зеленой линией) находится не выше графика функции $y = g(x)$ (изображен красной линией). Решения нужно найти на заданном промежутке $[-7; 6]$.

1. Сначала определим на графике, при каких значениях $x$ выполняется условие $f(x) \le g(x)$.
Мы видим, что графики функций пересекаются в двух точках. Найдем их абсциссы (координаты по оси $x$):

• Первая точка пересечения: $x = -5$. В этой точке $f(-5) = g(-5) = 2$.
• Вторая точка пересечения: $x = 5$. В этой точке $f(5) = g(5) = 2$.

В этих точках выполняется равенство $f(x) = g(x)$, что удовлетворяет знаку $\le$.

2. Теперь рассмотрим интервалы между и за пределами точек пересечения.
На интервале от $-5$ до $5$, то есть при $x \in (-5, 5)$, зеленая линия (график $f(x)$) проходит ниже красной линии (графика $g(x)$). Это означает, что на этом интервале выполняется строгое неравенство $f(x) < g(x)$.
Объединив точки равенства и интервал, где $f(x) < g(x)$, получаем, что неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется на отрезке $[-5; 5]$.

3. В условии задачи указано, что решения нужно найти на промежутке $[-7; 6]$.
Мы должны найти пересечение множества решений неравенства $[-5; 5]$ и заданного промежутка $[-7; 6]$.
Пересечением этих двух промежутков является отрезок $[-5; 5]$.

4. Теперь выпишем все целые числа, которые принадлежат отрезку $[-5; 5]$:
$-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

5. Найдем сумму этих целых решений:
$S = (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$
Сумма пар противоположных чисел равна нулю:
$S = (-5 + 5) + (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0$
$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0