Номер 3.200, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.200. Выберите верное равенство:

а) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}; $

б) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}; $

в) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}; $

г) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2\pi}{3}. $

Чтобы выбрать верное равенство, необходимо найти значение выражения $ \arccos(-\frac{1}{2}) $.

По определению, арккосинус числа $a$ (где $ |a| \le 1 $) — это угол $ \alpha $ из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $a$. То есть, если $ \alpha = \arccos(a) $, то одновременно должны выполняться два условия: 1) $ \cos(\alpha) = a $ и 2) $ 0 \le \alpha \le \pi $.

В данном случае $ a = -\frac{1}{2} $. Следовательно, мы ищем угол $ \alpha $, для которого $ \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

а) $ \arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{3} $

Проверим условие принадлежности угла отрезку $ [0; \pi] $. Угол $ \alpha = -\frac{\pi}{3} $ не принадлежит этому отрезку, так как $ -\frac{\pi}{3} < 0 $. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

б) $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $

Угол $ \alpha = \frac{\pi}{3} $ принадлежит отрезку $ [0; \pi] $. Проверим значение косинуса: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $. Так как $ \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2} $, равенство неверно.

Ответ: неверно.

в) $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} $

Угол $ \alpha = \frac{2\pi}{3} $ принадлежит отрезку $ [0; \pi] $, поскольку $ 0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi $. Проверим значение косинуса: $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $. Оба условия выполнены. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

г) $ \arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{2\pi}{3} $

Угол $ \alpha = -\frac{2\pi}{3} $ не принадлежит отрезку $ [0; \pi] $, так как $ -\frac{2\pi}{3} < 0 $. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

Таким образом, единственное верное равенство представлено в пункте в).

Для проверки также можно использовать формулу $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $:
$ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
Этот результат подтверждает, что правильный ответ — в).