Номер 3.193, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.193*. Решите уравнение:

a) $x^{\log_3 x - 3} = \frac{1}{9}$;

б) $x^{3 + \lg x} = 10000.

а) $x^{\log_3 x - 3} = \frac{1}{9}$

Данное уравнение является показательно-логарифмическим. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как переменная $x$ находится в основании степени и под знаком логарифма, она должна быть строго положительной: $x > 0$.

Для решения такого типа уравнений применяется метод логарифмирования. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени находится логарифм по основанию 3:
$\log_3(x^{\log_3 x - 3}) = \log_3(\frac{1}{9})$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ для левой части. Правую часть упростим, зная, что $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$:
$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{-2})$
$(\log_3 x - 3) \cdot \log_3 x = -2$

Теперь введем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид:
$(t - 3)t = -2$
$t^2 - 3t = -2$
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Отсюда легко находим корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) Если $t = 1$, то $\log_3 x = 1$. По определению логарифма, $x = 3^1 = 3$.
2) Если $t = 2$, то $\log_3 x = 2$. По определению логарифма, $x = 3^2 = 9$.

Оба найденных корня ($x=3$ и $x=9$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $3; 9$.

б) $x^{3 + \lg x} = 10000$

Это также показательно-логарифмическое уравнение. ОДЗ определяется условием для аргумента логарифма: $x > 0$. Заметим, что $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} x$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм):
$\lg(x^{3 + \lg x}) = \lg(10000)$

Применим свойство логарифма степени $\lg(a^b) = b \cdot \lg a$ и учтем, что $10000 = 10^4$:
$(3 + \lg x) \cdot \lg x = \lg(10^4)$
$(3 + \lg x) \cdot \lg x = 4$

Введем замену переменной. Пусть $y = \lg x$. Уравнение примет вид квадратного:
$(3 + y)y = 4$
$y^2 + 3y = 4$
$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = -3$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = -4$. Корни уравнения:
$y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Выполним обратную замену для нахождения $x$:
1) Если $y = 1$, то $\lg x = 1$. По определению логарифма, $x = 10^1 = 10$.
2) Если $y = -4$, то $\lg x = -4$. По определению логарифма, $x = 10^{-4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$.

Оба корня ($x=10$ и $x=0,0001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $0,0001; 10$.