Номер 3.198, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.198*: Решите уравнение $\log_{2}^{2}x + (x-1)\log_{2}x = 6 - 2x$.

Данное уравнение:

$$ \log_{2}^{2}x + (x-1)\log_{2}x = 6 - 2x $$

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку логарифм определен только для положительных чисел, должно выполняться условие:

$x > 0$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$$ \log_{2}^{2}x + (x-1)\log_{2}x - (6 - 2x) = 0 $$

$$ \log_{2}^{2}x + (x-1)\log_{2}x + 2x - 6 = 0 $$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $ \log_{2}x $. Для удобства введем замену: пусть $t = \log_{2}x$.

Уравнение примет вид:

$$ t^2 + (x-1)t + (2x-6) = 0 $$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $t$, где коэффициенты зависят от $x$: $a=1$, $b=x-1$, $c=2x-6$.

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$$ D = b^2 - 4ac = (x-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2x-6) $$

$$ D = (x^2 - 2x + 1) - (8x - 24) = x^2 - 2x + 1 - 8x + 24 $$

$$ D = x^2 - 10x + 25 $$

Полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$$ D = (x-5)^2 $$

Теперь найдем корни $t$ по формуле:

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(x-1) \pm \sqrt{(x-5)^2}}{2} = \frac{1-x \pm (x-5)}{2} $$

Это дает нам два возможных выражения для $t$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1. Используем знак «+».

$$ t_1 = \frac{1-x + (x-5)}{2} = \frac{1 - x + x - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $t_1$ в замену $t = \log_{2}x$:

$$ \log_{2}x = -2 $$

Из определения логарифма следует:

$$ x_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4} $$

Данный корень $x_1 = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Случай 2. Используем знак «-».

$$ t_2 = \frac{1-x - (x-5)}{2} = \frac{1 - x - x + 5}{2} = \frac{6-2x}{2} = 3-x $$

Снова вернемся к исходной переменной:

$$ \log_{2}x = 3 - x $$

Это трансцендентное уравнение. Для его решения проанализируем функции в левой и правой частях. Пусть $f(x) = \log_{2}x$ и $g(x) = 3 - x$. На всей области определения $x \in (0, +\infty)$ функция $f(x) = \log_{2}x$ является строго возрастающей. Функция $g(x) = 3 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом, то есть строго убывающей. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более одного раза. Следовательно, уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $ \log_{2}2 = 1 $.

Правая часть: $ 3 - 2 = 1 $.

Так как $1=1$, то $x_2=2$ является корнем. Поскольку корень может быть только один, мы его нашли. Он удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Итак, исходное уравнение имеет два корня, полученные в результате рассмотрения двух случаев.

Ответ: $ \frac{1}{4}; 2 $.