Номер 3.201, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.201. Вычислите:

а) $32^{0,4};$

б) $125^3 : 25^4;$

в) $49^{0,25} \cdot \sqrt{7};$

г) $\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3};$

д) $(7^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};$

е) $81^\pi \cdot 3^{-4\pi}.$

а) Чтобы вычислить $32^{0,4}$, представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Также представим основание 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$.
Получаем: $32^{0,4} = (2^5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $2^{5 \cdot \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления выражения $125^3 : 25^4$ приведем основания к одному числу — 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.
Подставим эти значения в выражение: $(5^3)^3 : (5^2)^4$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ получаем: $5^{3 \cdot 3} : 5^{2 \cdot 4} = 5^9 : 5^8$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$ получаем: $5^{9-8} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

в) Чтобы вычислить $49^{0,25} \cdot \sqrt{7}$, преобразуем все члены к основанию 7.
Представим $0,25$ в виде дроби $\frac{1}{4}$. Представим $\sqrt{7}$ как $7^{\frac{1}{2}}$. Основание 49 представим как $7^2$.
Выражение принимает вид: $(7^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$.
Упрощаем первый множитель: $(7^2)^{\frac{1}{4}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 7^{\frac{2}{4}} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выражение выглядит так: $7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}}$.
Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

г) В выражении $\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{3}$ используется свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
Применим это свойство: $\sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81}$.
Число 81 можно представить как $3^4$.
Следовательно, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Ответ: 3

д) Для вычисления выражения $(7^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Получаем: $7^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 7^2$.
Вычисляем результат: $7^2 = 49$.
Ответ: 49

е) В выражении $81^\pi \cdot 3^{-4\pi}$ приведем основания к одному числу — 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$.
Подставим это в выражение: $(3^4)^\pi \cdot 3^{-4\pi}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{4\pi} \cdot 3^{-4\pi}$.
Далее, по свойству умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{4\pi + (-4\pi)} = 3^{4\pi - 4\pi} = 3^0$.
Любое число в нулевой степени равно 1.
Таким образом, $3^0 = 1$.
Ответ: 1