Номер 3.208, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.208. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{5}{\sqrt[3]{5}}}$;

б) $\frac{3}{\sqrt[3]{9}}}$;

в) $\frac{6}{\sqrt[4]{8}}}$;

г) $\frac{60}{\sqrt[3]{15}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе вида $\frac{a}{\sqrt[n]{b^k}}$, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[n]{b^{n-k}}$, чтобы в знаменателе получилось целое число $b$.

а)

В дроби $\frac{5}{\sqrt[3]{5}}$ показатель корня $n=3$, а степень подкоренного выражения $k=1$. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{5^{3-1}} = \sqrt[3]{5^2}$.

$\frac{5}{\sqrt[3]{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{5\sqrt[3]{25}}{5} = \sqrt[3]{25}$

Ответ: $\sqrt[3]{25}$

б)

В дроби $\frac{3}{\sqrt[3]{9}}$ представим знаменатель в виде $\sqrt[3]{3^2}$. Здесь $n=3$, $k=2$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{3^{3-2}} = \sqrt[3]{3}$.

$\frac{3}{\sqrt[3]{9}} = \frac{3}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{3}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{3\sqrt[3]{3}}{3} = \sqrt[3]{3}$

Ответ: $\sqrt[3]{3}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{6}{\sqrt[4]{8}}$. Представим число 8 в знаменателе как степень двойки: $8 = 2^3$. Дробь примет вид $\frac{6}{\sqrt[4]{2^3}}$. Здесь $n=4$, $k=3$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[4]{2^{4-3}} = \sqrt[4]{2}$.

$\frac{6}{\sqrt[4]{8}} = \frac{6}{\sqrt[4]{2^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^3} \cdot \sqrt[4]{2}} = \frac{6\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{6\sqrt[4]{2}}{2}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{6\sqrt[4]{2}}{2} = 3\sqrt[4]{2}$

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$

г)

В дроби $\frac{60}{\sqrt[3]{15}}$ показатель корня $n=3$, а степень подкоренного выражения $k=1$. Домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{15^{3-1}} = \sqrt[3]{15^2} = \sqrt[3]{225}$.

$\frac{60}{\sqrt[3]{15}} = \frac{60 \cdot \sqrt[3]{15^2}}{\sqrt[3]{15} \cdot \sqrt[3]{15^2}} = \frac{60\sqrt[3]{225}}{\sqrt[3]{15^3}} = \frac{60\sqrt[3]{225}}{15}$

Разделим числитель и знаменатель на 15:

$\frac{60\sqrt[3]{225}}{15} = 4\sqrt[3]{225}$

Ответ: $4\sqrt[3]{225}$